下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一條線段的垂直平分線討論片段，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．
活動探究：小明：如圖①，可以用尺規(guī)作圖；
①分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點；
②作直線CD，CD就是所求作的直線．
小剛：我認(rèn)為小明的作圖方法很好，但是這四條弧可以半徑不一樣，如圖②；
①分別以點A，B為圓心，以大于12AB的長為半徑作弧，兩弧在AB的上方相交于P；
②分別以點A，B為圓心，改變半徑的大小，仍保證大于12AB的長為半徑作弧，兩弧在AB的下方相交于Q；
③作直線PQ．PQ就是所求作的直線．
……
（1）小剛作圖得到的直線PQ是線段AB的垂直平分線嗎？請作出判斷，并說明理由．
拓展應(yīng)用：（2）如圖③，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，分別以A，D為圓心，以大于12AD的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN，分別交AB，AD，AC于點E，O，F(xiàn)，連接DE，DF．求證：四邊形AEDF是菱形．
問題解決：（3）小剛在作圖中發(fā)現(xiàn)（如圖④所示），像這樣滿足PA=PB，QA=QB的有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做箏形．如圖⑤在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，點M，N分別在邊AB，AC上，當(dāng)以M，N，B，C為頂點的四邊形是箏形時，請直接寫出MN的長．
1
2
AB
1
2
AB
1
2
1
2
【考點】四邊形綜合題．
【答案】（1）直線PQ是線段AB的垂直平分線，理由見解答；
（2）證明見解答；
（3）MN的長為或．
（2）證明見解答；
（3）MN的長為
15
7
3
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/28 8:0:9組卷：231引用：1難度：0.3
相似題
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1．如圖1，四邊形ABCD為正方形，點E為其邊BC上一點，以CE為邊在正方形ABCD右側(cè)作正方形CEFG，將正方形CEFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜360°），連接AF、BG，直線AF、BG交于點M．
（1）當(dāng)α=90°時，∠AMB=°；當(dāng)α=270°時，∠AMB=°；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AMB的度數(shù)是否為定值？如果是，請就圖2的情況予以證明；如果不是，請說明理由．
（3）若BC=3，CE=1，當(dāng)A、E、F三點在同一條直線上時，請直接寫出線段BM的長度．發(fā)布：2025/5/25 13:0:1組卷：152引用：1難度：0.1 -
2．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△AOB關(guān)于AB的對稱圖形為△AEB．
（1）求證：四邊形AEBO是菱形；
（2）連接CE，若AB=6cm,CB=cm.21
①求sin∠ECB的值；
②若點P為線段CE上一動點（不與點C重合），連接OP，一動點Q從點O出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段OP勻速運動到點P，再以2.5cm/s的速度沿線段PC勻速運動到點C，到達點C后停止運動，當(dāng)點Q沿上述路線運動到點C所需要的時間最短時，求PC的長和點Q走完全程所需的時間．發(fā)布：2025/5/25 13:30:1組卷：46引用：2難度：0.3 -
3．課本再現(xiàn)
（1）在證明“三角形內(nèi)角和定理”時，小明只撕下三角形紙片的一個角拼成圖1即可證明，其中與∠A相等的角是 ；
類比遷移
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC與∠ADC互余，小明發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD中這對互余的角可類比（1）中思路進行拼合：先作∠CDF=∠ABC，再過點C作CE⊥DF于點E，連接AE，發(fā)現(xiàn)AD，DE，AE之間的數(shù)量關(guān)系是 ；
方法運用
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，連接AC，∠BAC=90°，點O是△ACD兩邊垂直平分線的交點，連接OA，∠OAC=∠ABC．
①求證：∠ABC+∠ADC=90°；
②連接BD，如圖4，已知AD=m,DC=n,=2，求BD的長（用含m,n的式子表示）．ABAC
發(fā)布：2025/5/25 13:30:1組卷：2913引用：8難度：0.1
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