已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程y=2x,原點(diǎn)到過A（a,0）、B（0，-b）點(diǎn)直線l的距離為63．
（1）求雙曲線方程；
（2）過點(diǎn)Q（1，1）能否作直線m,使m與已知雙曲線交于兩點(diǎn)P1，P2，且Q是線段P1P2的中點(diǎn)？若存在，請(qǐng)求出其方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
x
2
a
2
y
2
b
2
2
6
3
【考點(diǎn)】雙曲線的幾何特征．
【答案】（1）；
（2）不存在，
假設(shè)直線l存在．
設(shè)Q是線段P1P2的中點(diǎn)，
且P1（x1，y1），P2（x2，y2），則x1+x2=2，y1+y2=2．
∵P1，P2在雙曲線上，
∴代入作差，整理可得2（x1+x2）（x1-x2）-（y1-y2）（y1+y2）=0，
∴4（x1-x2）=2（y1-y2），
∴k=2，
∴直線l的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
聯(lián)立方程組，得2x2-4x+3=0
∵Δ=16-4×3×2=-8＜0，
∴直線l與雙曲線無交點(diǎn)，
∴直線l不存在．
x
2
-
y
2
2
=
1
（2）不存在，
假設(shè)直線l存在．
設(shè)Q是線段P1P2的中點(diǎn)，
且P1（x1，y1），P2（x2，y2），則x1+x2=2，y1+y2=2．
∵P1，P2在雙曲線上，
∴代入作差，整理可得2（x1+x2）（x1-x2）-（y1-y2）（y1+y2）=0，
∴4（x1-x2）=2（y1-y2），
∴k=2，
∴直線l的方程為y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
聯(lián)立方程組，得2x2-4x+3=0
∵Δ=16-4×3×2=-8＜0，
∴直線l與雙曲線無交點(diǎn)，
∴直線l不存在．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：401引用：3難度：0.9
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