綜合與實(shí)踐
老師讓同學(xué)們以“兩個(gè)大小不等的等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)重合，并讓一個(gè)三角板固定，另一個(gè)繞直角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，連接AD，點(diǎn)M，P，N分別為DE，AD，AB的中點(diǎn)．試判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系．
甲小組發(fā)現(xiàn)：PM=PN，PM⊥PN．并進(jìn)行了證明，下面的兩個(gè)片段是截取的部分證明過程（片段前后證明過程已省略）：
【片段1】∵點(diǎn)P，M分別是AD，DE的中點(diǎn)，
∴PM∥AE，PM=12AE．（理由1）
【片段2】∵∠BCA=90°，∴∠ADC+∠CAD=90°．（理由2）
反思交流
（1）①填空：理由1：三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；理由2：直角三角形的兩銳角互余直角三角形的兩銳角互余；
②圖1中，MN與AB的位置關(guān)系是 MN⊥AB或MN垂直平分ABMN⊥AB或MN垂直平分AB．
（2）乙小組受到甲小組的啟發(fā)，繼續(xù)進(jìn)行探究，把△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，請(qǐng)判斷△PMN的形狀并證明；
（3）丙小組的同學(xué)繼續(xù)探究：把△CDE繞點(diǎn)C在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CD=4，CB=10時(shí)，直接寫出線段MN長(zhǎng)度的最大值．
PM
∥
AE
，
PM
=
1
2
AE
【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．
【答案】三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半；直角三角形的兩銳角互余；MN⊥AB或MN垂直平分AB
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/4/26 11:36:51組卷：253引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，設(shè)∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足
．（1）求△ABC的周長(zhǎng)；a2-6a+9+b-4=0
（2）點(diǎn)P是△ABC邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿C→B→A的路徑向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
①當(dāng)AP平分∠BAC時(shí)，求t的值；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P開始從B點(diǎn)向點(diǎn)A移動(dòng)時(shí)，將△CBP沿直線CP對(duì)折，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為B'，當(dāng)△B'CP與△ACP重疊部分為直角三角形時(shí)，請(qǐng)求出所有滿足條件的t的值．
發(fā)布：2025/6/7 8:30:2組卷：105引用：1難度：0.2 -
2．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（6，0），B（8，6），將線段OA平移至CB，點(diǎn)D在x軸正半軸上（不與點(diǎn)A重合），連接OC，AB，CD，BD．
（1）寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)△ODC的面積是△ABD的面積的3倍時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)∠OCD=α，∠DBA=β，∠BDC=θ，判斷α、β、θ之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．發(fā)布：2025/6/6 21:0:2組卷：1263引用：17難度：0.1 -
3．在平面直角坐標(biāo)系中，等腰△BAC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A（0，b），B（a,0），C（0，b），其中a、b是二元一次方程組
的解，AB=BC=5，點(diǎn)P是射線AC上個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥AB交直線AB于點(diǎn)E，作PF⊥BC交直線BC于點(diǎn)F．2a-b=5a+b=7
（1）求△ABC的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，求PE+PF的值；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)連接BP，點(diǎn)M為BP中點(diǎn)，連接AM交x軸于點(diǎn)G，當(dāng)PE：PF=5：1時(shí)，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)．
發(fā)布：2025/6/6 23:30:1組卷：38引用：1難度：0.4