課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖1所示，延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE．請根據(jù)小明的思路繼續(xù)思考：
（1）由已知和作圖能證得△ADC≌△EDB，得到BE=AC，在△ABE中求得2AD的取值范圍，從而求得AD的取值范圍是 1＜AD＜51＜AD＜5．
方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．
（2）如圖2，AD是△ABC的中線，AB=AE，AC=AF，∠BAE+∠CAF=180°，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
（3）如圖3，在△ABC中，D，E是BC的三等分點(diǎn)．求證：AB+AC＞AD+AE．
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】1＜AD＜5
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/10/5 13:0:1組卷：419引用：2難度：0.5
相似題
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1．如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且A，C，E在同一條直線上，分別連接AD，BE．
（1）求證：AD=BE；
（2）如圖2，連接BD，若M，N，Q分別為AB，DE，BD的中點(diǎn)，過N作NP⊥MN與MQ的延長線交于P，求證：MP=AD；
（3）如圖3，設(shè)AD與BE交于F點(diǎn)，點(diǎn)M在AB上，MG∥AD，交BE于H，交CF的延長線于G，試判斷△FGH的形狀．
發(fā)布：2025/5/24 17:0:2組卷：45引用：1難度：0.1 -
2．仔細(xì)閱讀以下內(nèi)容解決問題：第24屆國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)，設(shè)兩條直角邊的邊長為a,b,則面積為ab,四個直角三角形面積和小于正方形的面積得：a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號．在a2+b2≥2ab中，若a＞0，b＞0，用12、a代替a,b得，a+b≥2b，即ab（*），我們把（*）式稱為基本不等式．利用基本不等式我們可以求這個式子的最大最小值．我們以“已知x為實(shí)數(shù)，求y=a+b2≥ab的最小值”為例給同學(xué)們介紹．x2+4x2+1
解：由題知y=，x2+1+3x2+1=x2+1+3x2+1
∴＞0，x2+1＞0，3x2+1
∴y=，當(dāng)且僅當(dāng)x2+1+3x2+1≥2x2+1?3x2+1=23時取等號，即當(dāng)x=x2+1=3x2+1時，函數(shù)的最小值為22．3
總結(jié)：利用基本不等式（a＞0，b＞0）求最值，若ab為定值．則a+b有最小值．a+b2≥ab
請同學(xué)們根據(jù)以上所學(xué)的知識求下列函數(shù)的最值，并求出取得最值時相應(yīng)x的取值．
（1）若x＞0，求y=2x+的最小值；2x
（2）若x＞2，求y=x+的最小值；1x-2
（3）若x≥0，求y=的最小值．x+4x+13x+2發(fā)布：2025/5/24 19:30:1組卷：236引用：3難度：0.5 -
3．問題情景：已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)P為直線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．
（1）觀察猜想
如圖1，若α=60°，P在線段BC上時，線段PM、PN、AD的數(shù)量關(guān)系是 ．
（2）類比探究
如圖2，若α=90°，P在線段BC上時，判斷線段PM、PN、AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）問題解決
若α=120°，點(diǎn)P在線段BC兩端點(diǎn)的外端，且AD=2，請直接寫出PM-PN的值．
發(fā)布：2025/5/24 20:0:2組卷：74引用：1難度：0.3
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