設(shè)橢圓E：x2a2+y21-a2=1的焦點(diǎn)在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線F2P交y軸于點(diǎn)Q，并且F1P⊥F1Q，證明：當(dāng)a變化時(shí)，點(diǎn)P在某定直線上．
x
2
a
2
+
y
2
1
-
a
2
=
1
【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中．
由題設(shè)可知：x0≠c．則直線F1P的斜率=，直線F2P的斜率=．
故直線F2P的方程為．
令x=0，解得．即點(diǎn)Q．
因此直線F1Q的斜率=．
∵F1Q⊥F1P，∴=．
化為．
聯(lián)立
，及x0＞0，y0＞0，
解得，．
即點(diǎn)P在定直線x+y=1上．
8
x
2
5
+
8
y
2
3
=
1
（2）證明：設(shè)P（x0，y0），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），其中
c
=
2
a
2
-
1
由題設(shè)可知：x0≠c．則直線F1P的斜率
k
F
1
P
y
0
x
0
+
c
k
F
2
P
y
0
x
0
-
c
故直線F2P的方程為
y
=
y
0
x
0
-
c
（
x
-
c
）
令x=0，解得
y
=
c
y
0
c
-
x
0
（
0
，
c
y
0
c
-
x
0
）
因此直線F1Q的斜率
k
F
1
Q
y
0
c
-
x
0
∵F1Q⊥F1P，∴
k
F
1
Q
?
k
F
1
P
y
0
x
0
+
c
?
y
0
c
-
x
0
=
-
1
化為
y
2
0
=
x
2
0
-
（
2
a
2
-
1
）
聯(lián)立
y 2 0 = x 2 0 - （ 2 a 2 - 1 ） |
x 2 0 a 2 + y 2 0 1 - a 2 = 1 |
解得
x
0
=
a
2
y
0
=
1
-
a
2
即點(diǎn)P在定直線x+y=1上．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：1427引用：12難度：0.1
相似題
-
1．設(shè)橢圓
+x2a2=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為y2b2，|AB|=53．13
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx（k＜0）與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，直線l與直線AB交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若△BPM的面積是△BPQ面積的2倍，求k的值．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：4501引用：26難度：0.3 -
2．已知橢圓C：
=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-1），離心率為x2a2+y2b2．32
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=k（x-1）（k≠0）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)B（1，0），求證：點(diǎn)M不在以AB為直徑的圓上．發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：368引用：4難度：0.5 -
3．如果橢圓
的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是（ ?。?/h2>x236+y29=1發(fā)布：2024/12/18 3:30:1組卷：456引用：3難度：0.6
相關(guān)試卷