已知兩個定點A（-4，0），B（-1，0），動點P滿足|PA|=2|PB|．設(shè)動點P的軌跡為曲線E，直線l：y=kx-4．
（1）求曲線E的軌跡方程；
（2）若l與曲線E交于不同的C，D兩點，且∠COD=90°（O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率；
（3）若k=12，Q是直線l上的動點，過Q作曲線E的兩條切線QM，QN，切點為M，N，探究：直線MN是否過定點．
k
=
1
2
，
Q
【考點】軌跡方程．
【答案】（1）x2+y2=4；
（2）；
（3）由題意可知：O，Q，M，N四點共圓且在以O(shè)Q為直徑的圓上，
設(shè)，
以O(shè)Q為直徑的圓的方程為，
即：，
又M，N在曲線E：x2+y2=4上，
可得MN的方程為tx+（t-4）y-4=0，
即，由
得
，
∴直線MN過定點．
（2）
k
=±
7
（3）由題意可知：O，Q，M，N四點共圓且在以O(shè)Q為直徑的圓上，
設(shè)
Q
（
t
，
1
2
t
-
4
）
以O(shè)Q為直徑的圓的方程為
x
（
x
-
t
）
+
y
（
y
-
1
2
t
+
4
）
=
0
即：
x
2
-
tx
+
y
2
-
（
t
2
-
4
）
y
=
0
又M，N在曲線E：x2+y2=4上，
可得MN的方程為tx+（
1
2
即
（
x
+
y
2
）
t
-
4
（
y
+
1
）
=
0
x + y 2 = 0 |
y + 1 = 0 |
x = 1 2 |
y = - 1 |
∴直線MN過定點
（
1
2
，-
1
）
【解答】
【點評】
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