已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點A（-1，0）和點B（4，0）兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線上不與點A，B，C重合的一個動點，過點M作MN⊥x軸，垂足為N，連接MC．
①如圖，若點M在第一象限，且∠CMN=45°，求點M的坐標；
②直線MN交直線BC于點D，當點D關于直線MC的對稱點D′落在y軸上時，求線段CD′的長．
【考點】二次函數綜合題．
【答案】（1）；
（2）①；
②或．
y
=
-
3
4
x
2
+
9
4
x
+
3
（2）①
M
（
5
3
，
14
3
）
②
35
12
85
12
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/9/7 19:0:9組卷：162引用：2難度：0.1
相似題
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1．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C（0，3），DE所在的直線是該拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；
（2）連接AD，P是AD上的動點，P′是點P關于DE的對稱點，連接PE，過點P′作P′F∥PE，交x軸于點F，設四邊形PP′FE的面積為y,EF=x,求y與x之間的函數關系式．發(fā)布：2025/6/16 2:0:1組卷：231引用：2難度：0.3 -
2．如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．
（1）拋物線及直線AC的函數關系式；
（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．
（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點M，使以A，N，M為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標．若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/6/16 1:30:1組卷：2079引用：7難度：0.5 -
3．如圖，一次函數y=-4x-4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點，拋物線y=x2+bx+c的圖象經過A、C兩點，且與x軸交于點B．43
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）在拋物線的對稱軸上找一點E，使點E到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出此點E的坐標；
（3）作直線MN平行于x軸，分別交線段AC、BC于點M、N．問在x軸上是否存在點P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有滿足條件的P點的坐標；如果不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/6/16 1:30:1組卷：223引用：2難度：0.4