【問題提出】如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點P，PA=3，PB=4，PC=5．求∠APB的度數(shù)．
【數(shù)學思考】當圖形中有一組鄰邊相等時，通過旋轉(zhuǎn)可以將分散的條件集中起來解決問題．
【嘗試解決】（1）將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP'B，連接PP'，則△APP'為等邊三角形．
∵P'P=PA=3，PB=4，P'B=PC=5，
∴P'P2+PB2=P'B2，
△BPP'為直角直角三角形，
∴∠APB的度數(shù)為150°150°．
【類比探究】（2）如圖2，在等邊三角形ABC外部有一點P，若∠BPA=30°，求證：PA2+PB2=PC2．
【聯(lián)想拓展】（3）如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．點P在直線BC上方且∠APB=45°，PC=BC=25，求PA的長．
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【考點】幾何變換綜合題．
【答案】直角；150°
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/4 8:0:9組卷：1012引用：3難度：0.1
相似題
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1．如圖1，四邊形ABCD中，∠BCD=90°，AC=AD，AF⊥CD于點F，交BD于點E，∠ABD=2∠BDC．
（1）判斷線段AE與BC的關(guān)系，并說明理由；
（2）若∠BDC=30°，求∠ACD的度數(shù)；
（3）如圖2，在（2）的條件下，線段BD與AC交于點O，點G是△BCE內(nèi)一點，∠CGE=90°，GE=3，將△CGE繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△CMH，E點對應(yīng)點為M，G點的對應(yīng)點為H，且點O，G，H在一條直線上直接寫出OG+OH的值．
發(fā)布：2025/5/22 19:0:1組卷：524引用：1難度：0.2 -
2．如圖，四邊形ABCD是矩形紙片，AB=2．對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過點B折疊矩形紙片，使點A落在EF上的點N，折痕BM與EF相交于點Q；再次展平，連接BN，MN，延長MN交BC于點G．有如下結(jié)論：
①∠ABN=60°；②AM=1；③QN=；④△BMG是等邊三角形；⑤P為線段BM上一動點，H是BN的中點，則PN+PH的最小值是33．3
其中正確結(jié)論的序號是．發(fā)布：2025/5/23 1:30:2組卷：3126引用：15難度：0.5 -
3．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，點P為線段CA延長線上一動點，連接PB，將線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，得到線段PD，連接DB，DC．
（1）如圖1，當α=60°時，
①求證：PA=DC；
②求∠DCP的度數(shù)；
（2）如圖2，當α=120°時，請直接寫出PA和DC的數(shù)量關(guān)系．
（3）當α=120°時，若AB=6，BP=，請直接寫出點D到CP的距離為．31
發(fā)布：2025/5/23 4:0:1組卷：4734引用：13難度：0.1
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