如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富，除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu)，網(wǎng)絡(luò)外賣也開始成為不少人日常生活中重要的一部分，其中大學(xué)生更是頻頻使用網(wǎng)絡(luò)外賣服務(wù)．A市教育主管部門為掌握網(wǎng)絡(luò)外賣在該市各大學(xué)的發(fā)展情況，在某月從該市大學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了100人，并將這100人在本月的網(wǎng)絡(luò)外賣的消費(fèi)金額制成如下頻數(shù)分布表（已知每人每月網(wǎng)絡(luò)外賣消費(fèi)金額不超過(guò)3000元）：
| 消費(fèi)金額（單位：百元） | [0，5] | （5，10] | （10，15] | （15，20] | （20，25] | （25，30] |
| 頻數(shù) | 20 | 35 | 25 | 10 | 5 | 5 |
（2）A市某大學(xué)后勤部為鼓勵(lì)大學(xué)生在食堂消費(fèi)，特地給參與本次問(wèn)卷調(diào)查的大學(xué)生每人發(fā)放價(jià)值100元的飯卡，并推出一檔“勇闖關(guān)，送大獎(jiǎng)”的活動(dòng)．規(guī)則是：在某張方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61個(gè)方格．棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是
1
2
①設(shè)棋子移到第n格的概率為Pn，求證：當(dāng)1≤n≤59時(shí)，{Pn-Pn-1}是等比數(shù)列；
②若某大學(xué)生參與這檔“闖關(guān)游戲”，試比較該大學(xué)生闖關(guān)成功與闖關(guān)失敗的概率大小，并說(shuō)明理由．
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9973．
【考點(diǎn)】正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義；數(shù)列的應(yīng)用．
【答案】（1）E（X）=16.372．
（2）①棋子開始在第0格為必然事件，P0=1．
第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為，即．
棋子移到第n（2≤n≤59）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：
（?。┢遄酉鹊降趎-2格，又?jǐn)S出反面，其概率為；
（ⅱ）棋子先到第n-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為，
所以，
即，且，
所以當(dāng)1≤n≤59時(shí)，數(shù)列{Pn-Pn-1}是首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．
②由①知，
以上各式相加，得，
所以=．
所以闖關(guān)成功的概率為，
闖關(guān)失敗的概率為．，
所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率．
（2）①棋子開始在第0格為必然事件，P0=1．
第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子移到第1格，其概率為
1
2
P
1
=
1
2
棋子移到第n（2≤n≤59）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種：
（?。┢遄酉鹊降趎-2格，又?jǐn)S出反面，其概率為
1
2
P
n
-
2
（ⅱ）棋子先到第n-1格，又?jǐn)S出正面，其概率為
1
2
P
n
-
1
所以
P
n
=
1
2
P
n
-
2
+
1
2
P
n
-
1
即
P
n
-
P
n
-
1
=
-
1
2
（
P
n
-
1
-
P
n
-
2
）
P
1
-
P
0
=
-
1
2
所以當(dāng)1≤n≤59時(shí)，數(shù)列{Pn-Pn-1}是首項(xiàng)
P
1
-
P
0
=
-
1
2
-
1
2
②由①知
P
1
-
1
=
-
1
2
，
P
2
-
P
1
=
（
-
1
2
）
2
，
P
3
-
P
2
=
（
-
1
2
）
3
，…，
P
n
-
P
n
-
1
=
（
-
1
2
）
n
以上各式相加，得
P
n
-
1
=
（
-
1
2
）
+
（
-
1
2
）
2
+
…
+
（
-
1
2
）
n
所以
P
n
=
1
+
（
-
1
2
）
+
（
-
1
2
）
2
+
…
+
（
-
1
2
）
n
2
3
[
1
-
（
-
1
2
）
n
+
1
]
（
n
=
0
，
1
，
2
，…，
59
）
所以闖關(guān)成功的概率為
P
59
=
2
3
[
1
-
（
-
1
2
）
60
]
=
2
3
[
1
-
（
1
2
）
60
]
闖關(guān)失敗的概率為
P
60
=
1
2
P
58
=
1
2
×
2
3
[
1
-
（
-
1
2
）
59
]
=
1
3
[
1
+
（
1
2
）
59
]
P
59
-
P
60
=
2
3
[
1
-
（
1
2
）
60
]
-
1
3
[
1
+
（
1
2
）
59
]
=
1
3
[
1
-
（
1
2
）
58
]
＞
0
所以該大學(xué)生闖關(guān)成功的概率大于闖關(guān)失敗的概率．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：505引用：12難度：0.5
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