已知雙曲線C：x22-y2b2=1（b＞0）一個(gè)焦點(diǎn)F到漸近線的距離為2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得NA?NB為定值？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及該定值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
x
2
2
-
y
2
b
2
2
NA
?
NB
【考點(diǎn)】雙曲線的定點(diǎn)及定值問(wèn)題．
【答案】（1）x2-y2=2；
（2）存在，依題意，直線l的斜率不為0，
則設(shè)直線l的方程為x=my+2，-1＜m＜1，
聯(lián)立
，消去x可得（m2-1）y2+4my+2=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），N（t，0），
則，，
∴，
=，
若要上式為定值，則必須有4t-6=-2，即t=1，
，
故存在點(diǎn)N（1，0）滿足．
（2）存在，依題意，直線l的斜率不為0，
則設(shè)直線l的方程為x=my+2，-1＜m＜1，
聯(lián)立
x = my + 2 |
x 2 - y 2 = 2 |
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），N（t，0），
則
y
1
+
y
2
=
-
4
m
m
2
-
1
y
1
y
2
=
2
m
2
-
1
∴
NA
?
NB
=
（
x
1
-
t
）
（
x
2
-
t
）
+
y
1
y
2
=
（
m
y
1
+
2
-
t
）
（
m
y
2
+
2
-
t
）
+
y
1
y
2
（
m
2
+
1
）
y
1
y
2
+
m
（
2
-
t
）
（
y
1
+
y
2
）
+
（
2
-
t
）
2
=
（
m
2
+
1
）
2
m
2
-
1
-
m
（
2
-
t
）
4
m
m
2
-
1
+
（
2
-
t
）
2
=
（
4
t
-
6
）
m
2
+
2
m
2
-
1
+
（
2
-
t
）
2
若要上式為定值，則必須有4t-6=-2，即t=1，
（
4
t
-
6
）
m
2
+
2
m
2
-
1
+
（
2
-
t
）
2
=
-
2
+
1
=
-
1
故存在點(diǎn)N（1，0）滿足
NA
?
NB
=
-
1
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/8/15 2:0:1組卷：125引用：4難度：0.5
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（2）過(guò)M（0，1）的直線與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F且與PQ平行的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值？若是定值，求該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．|MP|?|MQ||AB|發(fā)布：2024/9/24 8:0:9組卷：303引用：10難度：0.3 -
2．已知雙曲線
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3．已知雙曲線
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（1）求C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），且不過(guò)點(diǎn)P，若l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D，若，試判斷k是否為定值，若是，求出k值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．PA?PD=0發(fā)布：2024/8/5 8:0:8組卷：137引用：4難度：0.3