如圖，若b是正數(shù)，直線l：y=b與y軸交于點A；直線a：y=x-b與y軸交于點B；拋物線L：y=-x2+bx的頂點為C，且L與x軸正半軸的交點為D．
（1）若AB=8，求b的值，并求此時L的對稱軸與a的交點坐標；
（2）當點C在l下方時，求點C與l距離的最大值；
（3）設(shè)x0≠0，點（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l,a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點（x0，0）與點D間的距離；
（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“美點”，分別直接寫出b=2019和b=2019.5時“美點”的個數(shù)．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）（2，-2）；（2）1；（3）；（4）b=2019時“美點”的個數(shù)為4040個，b=2019.5時“美點”的個數(shù)為1010個．
1
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：258引用：2難度：0.2
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1．如圖，已知拋物線y=ax2+bx-2與x軸的兩個交點是A（4，0），B（1，0），與y軸的交點是C．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在直線AC上方的該拋物線上是否存在一點D，使得△DCA的面積最大？若存在，求出點D的坐標及△DCA面積的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）設(shè)拋物線的頂點是F，對稱軸與AC的交點是N，P是在AC上方的該拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，交AC于M．若P點的橫坐標是m.問：
①m取何值時，過點P、M、N、F的平面圖形不是梯形？
②四邊形PMNF是否有可能是等腰梯形？若有可能，請求出此時m的值；若不可能，請說明理由．
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