倍長(zhǎng)中線（Method of times the length of line） 倍長(zhǎng)中線的意思是：延長(zhǎng)邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長(zhǎng)部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)邊都對(duì)應(yīng)相等，此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對(duì)頂角一般用“SAS”證明對(duì)應(yīng)邊之間的關(guān)系．

請(qǐng)用倍長(zhǎng)中線法解答下面問(wèn)題：在△ABC中，∠ACB=90°，BD是AC邊上的中線，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1，點(diǎn)E在BC上，BE：CE=1：2，BD與AE相交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)F，使得BD=DF，連接AF，求

AP

PE

的值．
王林同學(xué)根據(jù)題意寫出了如下不完整的求解過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)全其過(guò)程．

解：設(shè)BE=k,則CE= 2k 2k ； ∵BD是AC邊上的中線， ∴AD=CD； ∵在△BCD和△FAD中， CD = AD ∠ BDC =∠ FDA BD = FD ∴△BCD≌△FAD（ SAS SAS ） ∴ ∠CBD ∠CBD = ∠AFD ∠AFD ， ∴BC∥FA；∴BC=FA=3k； 又∵BC∥FA， ∴△BPE∽△FPA； ∴ AP PE = AF BE = 3 3 ．

（2）類比探究
如圖2，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，AE與BD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，CE：BC=1：3，求

AP

PE

的值．
（3）拓展延伸
在（2）的探究結(jié)論下，若BC=4，AC=6，求BP的長(zhǎng)．