已知菱形ABCD的邊長為4．∠ADC=60°，等邊△AEF兩邊分別交邊DC，CB于點E，F(xiàn)．
（1）特殊發(fā)現(xiàn)：如圖1，若點E，F(xiàn)分別是邊DC，CB的中點．求證：菱形ABCD對角線AC，BD的交點O即為等邊△AEF的外心；
（2）若點E，F(xiàn)始終分別在邊DC，CB上移動，等邊△AEF的外心為點P．
①猜想驗證：如圖2．猜想△AEF的外心P落在哪條直線上，并加以證明；
②學以致用：如圖3，當△AEF的面積最小時，過點P任作一直線分別交邊DA于點M，交邊DC的延長線于點N，求1DM+1DN的值．
1
DM
+
1
DN
【考點】圓的綜合題．
【答案】（1）證明見解析；（2）①外心P一定落在直線DB上，理由見解析；②．
1
2
【解答】
【點評】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復制發(fā)布。
發(fā)布：2024/5/16 8:0:9組卷：51引用：1難度：0.3
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1．如圖，銳角△ABC中∠A的平分線交BC于點E，交△ABC的外接圓于點D、邊BC的中點為M．
（1）求證：MD垂直BC；
（2）若AC=5，BC=6，AB=7．求的值；BDAD
（3）作∠ACB的平分線交AD于點P，若將線段MP繞點M旋轉(zhuǎn)180°后，點P恰好與△ABC外接圓上的點P'重合，則tan∠BAC=．發(fā)布：2025/5/24 3:30:1組卷：447引用：3難度：0.3 -
2．【概念學習】
在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑為1，若⊙O平移d個單位后，使某圖形上所有點在⊙O內(nèi)或⊙O上，則稱d的最小值為⊙O對該圖形的“最近覆蓋距離”．例如，如圖①，A（3，0），B（4，0），則⊙O對線段AB的“最近覆蓋距離”為3．
【概念理解】
（1）⊙O對點（3，4）的“最近覆蓋距離”為 ．
（2）如圖②，點P是函數(shù)y=2x+4圖象上一點，且⊙O對點P的“最近覆蓋距離”為3，則點P的坐標為 ．
【拓展應用】
（3）如圖③，若一次函數(shù)y=kx+4的圖象上存在點C，使⊙O對點C的“最近覆蓋距離”為1，求k的取值范圍．
（4）D（3，m）、E（4，m+1），且-4＜m＜2，將⊙O對線段DE的“最近覆蓋距離”記為d,則d的取值范圍是 ．發(fā)布：2025/5/24 4:0:7組卷：1245引用：3難度：0.3 -
3．【問題提出】
（1）如圖①，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，則S△AOBS△COD（填“＞”“＜”或“=”）．
【問題探究】
（2）如圖②，在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，點E、點F分別為BC、AC邊上的兩個點，連接AE、EF，過點F作FD∥AE，交BC于點D，連接AD，若EF恰好將△ABC分為面積相等的兩部分，求AD的長．
【問題解決】
（3）楊叔叔承包了一塊土地欲進行耕種，土地形狀如圖③所示，其中四邊形ABCD的面積為12600平方米，AB∥CD，AB=160米，CD=120米，tanB=，1817所在圓的半徑為65米．已知?CD的中點P處有一口灌溉水井，現(xiàn)結(jié)合實際耕種需求，需在AB上找一點Q，使PQ將這塊土地的面積分為相等的兩部分，用于耕種兩種不同的作物，并沿PQ修一條灌溉水渠（水渠的寬度忽略不計），請在圖中找出點Q的位置，并計算灌溉水渠PQ的長．（結(jié)果保留根號）?CD
發(fā)布：2025/5/24 2:30:1組卷：622引用：2難度：0.2
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