如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)，D為直線BC上方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，DQ與BC相交于點(diǎn)M．DE⊥BC于E．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求線段DE長度的最大值；
（3）連接AC，是否存在點(diǎn)D，使得△CDE中有一個角與∠CAO相等？若存在，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；
（2）當(dāng)m=時，DE取得最大值，最大值是；
（3）存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（ ，）．
（2）當(dāng)m=
3
2
9
2
8
（3）存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（
3
2
15
4
5
2
7
4
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：655引用：3難度：0.3
相似題
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1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過A（1，0），（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）拋物線的頂點(diǎn)M與對稱軸l上的點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，直線AN交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)B是直線AD下方拋物線上一動點(diǎn)，連接AB、BD，求出△ADB面積最大值．
（3）P為拋物線上的一動點(diǎn)，Q為對稱軸上動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/23 6:30:1組卷：73引用：1難度：0.5 -
2．如圖，拋物線 y=-x2+3x+4 與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)E為線段BC上的一點(diǎn)，直線AE與拋物線交于點(diǎn)H．
（1）直接寫出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出直線BC的表達(dá)式；
（2）連接HB，HC，求△HBC面積的最大值；
（3）若點(diǎn)P為拋物線上一動點(diǎn)，試判斷在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q，使得以B，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以BC為邊的矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
?發(fā)布：2025/5/23 7:0:1組卷：467引用：4難度：0.1 -
3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線解析式；
（2）如圖2，M是拋物線頂點(diǎn)，△CBM的外接圓與x軸的另一交點(diǎn)為D，與y軸的另一交點(diǎn)為E．
①求tan∠CBE；
②若點(diǎn)N是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，在射線AN上是否存在點(diǎn)P，使得△ACP與△BCE相似？如果存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，若∠AQC為銳角，且tan∠AQC＞1，請直接寫出點(diǎn)Q縱坐標(biāo)的取值范圍．
發(fā)布：2025/5/23 7:0:1組卷：1401引用：4難度：0.1
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