數(shù)學(xué)上的對(duì)稱通常是指軸對(duì)稱、中心對(duì)稱，以及對(duì)稱的思想方法．某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行折紙活動(dòng)，來感受圖形中的對(duì)稱思想．如圖1，將正方形紙片ABCD對(duì)折后展開，得到折痕HG；如圖2，將紙片再次折疊，使點(diǎn)A落在折痕HG上，記作點(diǎn)F；如圖3，連接AF，得到△ABF．
（1）請(qǐng)判斷：△ABF是 等邊等邊三角形；
【問題提出】
興趣小組成員想要進(jìn)一步找到正方形中最大的等邊三角形．
【問題探究】
如圖4，小穎認(rèn)為正方形中最大等邊三角形的頂點(diǎn)一定落在正方形的邊上，她將圖4的△PRQ沿AB進(jìn)行平移，使點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合（如圖5），再將△PRB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使PR與對(duì)角線BD垂直，延長BR，BP分別交CD，AD于點(diǎn)E和F（如圖6），連接EF，便可得到如圖7的最大等邊三角形BEF．設(shè)正方形ABCD的邊長為2．
（2）小麗利用對(duì)稱的思想，即△BEF關(guān)于直線BD對(duì)稱，從而求得∠ABF=90°-∠EBF2=15°，則BF=26-2226-22．（sin15°=6-24，cos15°=6+24，tan15°=2-3）
（3）若不知道15°角的三角函數(shù)值，請(qǐng)你換一種方法求BF的長．
【問題解決】
（4）如圖8，已知正六邊形中最大的等邊三角形邊長為4，則該正六邊形的邊長為 433433．
【拓廣應(yīng)用】
（5）A4紙的長為29.7cm,寬為21cm,現(xiàn)要在A4紙中剪一個(gè)最大等邊三角形．請(qǐng)你在圖9中畫出示意圖（不需尺規(guī)作圖），并求該最大等邊三角形的邊長．
∠
ABF
=
90
°
-
∠
EBF
2
=
15
°
6
2
6
2
sin
15
°=
6
-
2
4
cos
15
°=
6
+
2
4
3
4
3
3
4
3
3
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】等邊；2-2；
6
2
4
3
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：258引用：2難度：0.1
相似題
-
1．如圖，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B-C-D向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作點(diǎn)E所在的邊（BC或CD）的垂線，交菱形其它的邊于點(diǎn)F，在EF的右側(cè)作矩形EFGH．35
（1）如圖1，點(diǎn)G在AC上．求證：FA=FG．
（2）若EF=FG，當(dāng)EF過AC中點(diǎn)時(shí)，求AG的長．
（3）已知FG=8，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為s.當(dāng)s滿足什么條件時(shí)，以G，C，H為頂點(diǎn)的三角形與△BEF相似（包括全等）？
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：1995引用：3難度：0.1 -
2．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．過點(diǎn)A作對(duì)角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點(diǎn)E．P為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，D重合），連接PA，PE，AC．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）求四邊形ABDE的周長和面積；
（3）記△ABP的周長和面積分別為C1和S1，△PDE的周長和面積分別為C2和S2，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，試探究下列兩個(gè)式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值；如果不是定值的，請(qǐng)直接寫出它的取值范圍．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：574引用：1難度：0.2 -
3．如圖，菱形ABCD中，AB=5，連接BD，sin∠ABD=
，點(diǎn)P是射線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），AP與對(duì)角線BD交于點(diǎn)E，連接EC．55
（1）求證：AE=CE；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，設(shè)BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面積；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長線上時(shí)，若△PEC是直角三角形，請(qǐng)直接寫出BP的長．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：254引用：1難度：0.1