綜合與實踐
問題情境
數學活動課上，老師發(fā)給每名同學一個等腰三角形紙片ABC，AB=AC，∠BAC＞90°，要求同學們將紙片沿一條直線折疊，探究圖形中的結論．
問題發(fā)現
奮進小組在邊AC上取一點D，連接BD，將這個紙片沿BD翻折，點A的對應點為E，如圖1所示．
如圖2，小明發(fā)現，當點E落在邊BC上時，∠DEC=2∠ACB．
如圖3，小紅發(fā)現，當點D是AC的中點時，連接CE，若已知AB和CE的長，則可求BD的長．
……
問題提出與解決
奮進小組根據小明和小紅的發(fā)現，討論后提出問題1，請你解答．
問題1：在△ABC中，AB=AC，∠BAC＞90°，點D是邊AC上一點，將△ABD沿BD翻折得到△EBD．
（1）如圖2，當點E在邊BC上時，求證：∠DEC=2∠ACB．
（2）如圖3，當點D是AC的中點時，連接CE，若AB=4，CE=3，求BD的長．
拓展延伸
小剛受到探究過程的啟發(fā)，將等腰三角形的頂角改為銳角，嘗試畫圖，并提出問題2，請你解答．
問題2：如圖4，點D是△ABC外一點，AB=AC=BD=4，CD=1，∠ABD=2∠BDC，求BC的長．
【考點】幾何變換綜合題．
【答案】問題1，
（1）證明過程詳見解答；
（2）；
問題2，
．
（1）證明過程詳見解答；
（2）
57
+
3
2
問題2，
10
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/20 8:0:8組卷：243引用：5難度：0.1
相似題
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1．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，DE與線段AB相交于點E．DF與線段AC（或AC的延長線）相交于點F．
（1）如圖1，若DF⊥AC，垂足為F，AB=4，求BE的長；
（2）如圖2，將（1）中的∠EDF繞點D順時針旋轉一定的角度，DF仍與線段AC相交于點F．求證：BE+CF=AB；12
（3）如圖3，將（2）中的∠EDF繼續(xù)繞點D順時針旋轉一定的角度，使DF與線段AC的延長線相交于點F，作DN⊥AC于點N，若DN=FN，求證：BE+CF=（BE-CF）．3
發(fā)布：2025/6/17 23:30:2組卷：3860難度：0.1 -
2．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．
（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數量關系是 ，位置關系是 ；
（2）探究證明：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=4，AB=10，請直接寫出△PMN面積的最大值．
發(fā)布：2025/6/16 20:30:1組卷：7189難度：0.1 -
3．如圖①，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，D是BC的中點．
小明對圖①進行了如下探究：在直線AD上任取一點P，連接PB．將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉60°，點B的對應點是點E，連接BE，得到△BPE．小明發(fā)現，隨著點P在直線AD上位置的變化，點E的位置也在變化，點E可能在直線AD的左側，也可能在直線AD上，還可能在直線AD的右側．請你幫助小明繼續(xù)探究，并解答下列問題：
（1）當點E在直線AD上時，如圖②所示．
①∠BEP=；
②連接CE，直線CE與直線AB的位置關系是 ．
（2）請在圖③中畫出△BPE，使點E在直線AD的右側，連接CE．試判斷直線CE與直線AB的位置關系，并說明理由．
（3）當點P在直線AD上運動時，求AE的最小值．發(fā)布：2025/6/17 6:0:2組卷：133難度：0.3