綜合與實(shí)踐
在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探索活動(dòng)．其中老師給同學(xué)們提供的學(xué)具有：等腰直角三角尺、若干四邊形紙片．
（1）【操作判斷】將四邊形紙片ABCD與等腰直角三角尺DEF按如圖1放置，三角尺DEF的邊DE，DF分別與四邊形ABCD的邊AB，BC交于P，Q兩點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量得∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD．小明將△DQC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，此時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為Q′，通過(guò)推理小明得出了△PDQ≌△PDQ′．
根據(jù)以上信息，請(qǐng)?zhí)羁眨?br />①∠PDQ′=4545°；
②線段AP，PQ，QC之間的數(shù)量關(guān)系為 AP+QC=PQAP+QC=PQ；
（2）【遷移探究】小明將四邊形紙片ABCD換成了圖2中的形狀，若∠ADC=2α，∠PDQ=α，AD=CD，P，Q分別在AB，BC上，且∠BCD+∠DAB=180°，線段AP，PQ，QC之間的數(shù)量關(guān)系是否仍成立？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)舉反例說(shuō)明；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，已知Rt△ADC，∠ADC=90°，AD=CD=62．小明以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)等腰直角三角尺EDF，其中射線DE，DF分別交射線AC于點(diǎn)M，N，當(dāng)點(diǎn)M恰好為線段AC的三等分點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出MN的長(zhǎng)．
AD
=
CD
=
6
2
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】45；AP+QC=PQ
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/10 8:0:8組卷：1161引用：8難度：0.3
相似題
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1．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N，AH⊥MN于點(diǎn)H．
（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：．
（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫出理由，如果成立請(qǐng)證明；
（3）如圖③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH=2，NH=3，探求AH滿足的數(shù)量關(guān)系．（可利用（2）得到的結(jié)論）
發(fā)布：2025/6/17 11:30:1組卷：878引用：1難度：0.3 -
2．請(qǐng)問(wèn)讀下列材料，并解答相應(yīng)的問(wèn)題
在Rt△ABC中、如果銳角A確定，那么角A的對(duì)邊與鄰邊的比值隨之確定，這個(gè)比叫做角A的正切，記作tanA，這是我們熟悉的三角函數(shù)中關(guān)于正切的定義．你不知道的是，世界上最早的正切函數(shù)表是由我國(guó)唐代一位叫做僧一行（683-727）的僧人在其所著《大衍歷》中首次創(chuàng)作的．他通過(guò)某地影長(zhǎng)的觀測(cè)，求人陽(yáng)天頂距進(jìn)而求出該地各節(jié)氣初日影長(zhǎng)的方法，并為此編制了0度到80度的正切函數(shù)表．
我們摘取了部分正切函數(shù)表，如圖所示，當(dāng)角的度數(shù)是63.2度時(shí)，我們查表可知其對(duì)應(yīng)的正切值為1.97，反之，如果已知一個(gè)角的正切值1.97，則這個(gè)角的度數(shù)是63.2度．
現(xiàn)已知矩形ABCD中，AD=4、AB=8，AC是對(duì)角線，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與A、B重合），點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)P不與A、C重合）∠DPE=90°．角度 正切值 63.2 1.97 63.3 1.98 63.4 1.99 63.5 2.00 63.6 2.01 63.7 2.02
①若AE=AD，∠DPE=90°，測(cè)得∠DEP=63.5°，則查表可知tan∠DEP=，此時(shí)可求出線段PE=．（直接寫出答案）
②若AE=3，∠DPE=90°，若此時(shí)點(diǎn)P恰好是AC中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出tan∠DEP=．
③若AE的值不是3，那么在變化過(guò)程中，tan∠DEP是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．
發(fā)布：2025/6/17 10:0:1組卷：58引用：1難度：0.4 -
3．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形OACB的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，已知OA=3，點(diǎn)D為y軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，1），若連接CD，則CD=5，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段A-C-B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒
（1）求B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求△OPD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于OP的對(duì)稱點(diǎn)E落在x軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的t值．發(fā)布：2025/6/17 10:30:2組卷：135引用：3難度：0.1