在△ABC中，∠ACB=45°，點(diǎn)D（與點(diǎn)B、C不重合）為射線BC上一動點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．
（1）如果AB=AC．如圖①，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．試判斷線段CF與BD之間的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（2）如果AB＞AC，如圖②，且點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動．（1）中結(jié)論是否成立，為什么？
（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點(diǎn)P，設(shè)AC=42，BC=3，BD=x,求線段CP的長．（用含x的式子表示）．
AC
=
4
2
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）CF與BD位置關(guān)系是垂直，理由見解答．
（2）當(dāng)AB＞AC時(shí)，CF⊥BD的結(jié)論成立，理由見解答．
（3）①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動時(shí)，CP=-x2+x+；
②點(diǎn)D在線段BC延長線上運(yùn)動時(shí)，CP=x2-x-．
（2）當(dāng)AB＞AC時(shí)，CF⊥BD的結(jié)論成立，理由見解答．
（3）①點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動時(shí)，CP=-
1
4
1
2
3
4
②點(diǎn)D在線段BC延長線上運(yùn)動時(shí)，CP=
1
4
1
2
3
4
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/7/6 8:0:9組卷：132引用：1難度：0.1
相似題
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1．在正方形ABCD中，AB=4，O為對角線AC、BD的交點(diǎn)．
（1）如圖1，延長OC，使CE=OC，作正方形OEFG，使點(diǎn)G落在OD的延長線上，連接DE、AG．求證：DE=AG；
（2）如圖2，將問題（1）中的正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜180°），得到正方形OE′F′G′，連接AE′、E′G′．
①當(dāng)α=30°時(shí)，求點(diǎn)A到E′G′的距離；
②在旋轉(zhuǎn)過程中，求△AE′G′面積的最小值，并求此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角α．
發(fā)布：2025/6/20 1:30:2組卷：540引用：3難度：0.2 -
2．問題：如圖①，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．
【發(fā)現(xiàn)證明】將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，從而發(fā)現(xiàn)EF=BE+FD，請你利用圖①證明上述結(jié)論
【類比引申】
如圖②，四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，則當(dāng)∠EAF與∠BAD滿足關(guān)系時(shí)，仍有EF=BE+FD．
【探究應(yīng)用】
如圖③，在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分別有景點(diǎn)E、F，且AE⊥AD，DF=（40-40）米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長．3
發(fā)布：2025/6/20 1:30:2組卷：859引用：2難度：0.2 -
3．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°．直接寫出BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF=∠BAD，求證：EF=BE+DF；12
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，延長BC到點(diǎn)E，延長CD到點(diǎn)F，使得∠EAF=∠BAD，則結(jié)論EF=BE+DF是否仍然成立？若成立，請證明；不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．12
發(fā)布：2025/6/20 1:0:2組卷：1509引用：2難度：0.5