在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+1交y軸于點A，交x軸于點B（4，0），且與過點A的直線相交于另一點D（3，52），過點D作DC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線表示的二次函數(shù)的解析式；
（2）點P在線段OC上（不與點O、C重合），過P作PN⊥x軸，交直線AD于點M，交拋物線于點N，連接CM，
①求△PCM面積的最大值；
②設OP的長為t,是否存在t,使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．
5
2
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）拋物線表示的二次函數(shù)解析式為；
（2）①△PCM面積的最大值是；
（3）不存在t，使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形．
y
=
-
3
4
x
2
+
11
4
x
+
1
（2）①△PCM面積的最大值是
25
16
（3）不存在t，使以點M、C、D、N為頂點的四邊形是平行四邊形．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：39引用：1難度：0.2
相似題
-
1．如圖1，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，AB=8，B點橫坐標為2，延長矩形OBDC的DC邊交拋物線于E．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，若點P是直線EO上方的拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線交直線EO于點M，求PM的最大值；
（3）如圖3，如果點F是拋物線對稱軸l上一點，拋物線上是否存在點G，使得以F，G，A，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的點G的坐標；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/6/7 7:0:1組卷：565引用：8難度：0.1 -
2．如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCD的邊BC與x軸、y軸的交點分別為C（8，0），B（0，6），CD=5，拋物線y=ax2-x+c（a≠0）過B，C兩點，動點M從點D開始以每秒5個單位長度的速度沿D→A→B→C的方向運動到達C點后停止運動．動點N從點O以每秒4個單位長度的速度沿OC方向運動，到達C點后，立即返回，向CO方向運動，到達O點后，又立即返回，依此在線段OC上反復運動，當點M停止運動時，點N也停止運動，設運動時間為t.154
（1）求拋物線的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）當點M，N同時開始運動時，若以點M，D，C為頂點的三角形與以點B，O，N為頂點的三角形相似，直接寫出t的值．發(fā)布：2025/6/7 16:30:2組卷：39引用：2難度：0.1 -
3．在平面直角坐標系中，直線AB與拋物線y=ax2+bx+c交于A，B（點A在點B的左側(cè)）兩點，點C是該拋物線上任意一點，過C點作平行于y軸的直線交AB于D，分別過點A，B作直線CD的垂線，垂足分別為點E，F(xiàn)．
特例感悟：
（1）已知：a=-2，b=4，c=6．
①如圖①，當點C的橫坐標為2，直線AB與x軸重合時，CD=，|a|?AE?BF=．
②如圖②，當點C的橫坐標為1，直線AB∥x軸且過拋物線與y軸的交點時，CD=，|a|?AE?BF=．
③如圖③，當點C的橫坐標為2，直線AB的解析式為y=x-3時，CD=，|a|?AE?BF=．
猜想論證：
（2）由（1）中三種情況的結(jié)果，請你猜想在一般情況下CD與|a|?AE?BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．拓展應用．
（3）若a=-1，點A，B的橫坐標分別為-4，2，點C在直線AB的上方的拋物線上運動（點C不與點A，B重合），在點C的運動過程中，利用（2）中的結(jié)論求出△ACB的最大面積．發(fā)布：2025/6/7 7:0:1組卷：21引用：2難度：0.3