閱讀：傳說古希臘畢達哥拉斯（Pythagonas,約公元前580年一約公元前500年）學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學問題．他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，比如，他們研究過1，3，6，10，…由于這些數(shù)可以用圖中所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數(shù)，第n個三角形數(shù)可以用n（n+1）2（n≥1）表示．
發(fā)現(xiàn)：1×8+1=9=32，3×8+1=25=52，6×8+1=49=72，…．
結論：任意一個三角形數(shù)乘8再加1都是一個完全平方數(shù)．
驗證：請你對上述結論加以證明；
拓展：嘉琪說：連續(xù)兩個三角形數(shù)的和也是一個完全平方數(shù)．請你對這個結論進行證明．
（溫馨提示：用特殊值法證明不得分?。?/h1>
n
（
n
+
1
）
2
【答案】答案見證明．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/6 8:0:9組卷：35引用：1難度：0.6
相似題
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1．將一個三位正整數(shù)n各數(shù)位上的數(shù)字重新排列后（含n本身），得到新三位數(shù)abc（a＜c），在所有重新排列中，當|a+c-2b|最小時，我們稱abc是n的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，并規(guī)定F（n）=b2-ac.例如215可以重新排列為125、152、215，因為|1+5-2×2|=2，|1+2-2×5|=7，|2+5-2×1|=7，且2＜5＜7，所以125是215的“調(diào)和優(yōu)選數(shù)”，F(xiàn)（215）=22-1×5=-1．
（1）F（236）=；
（2）如果在正整數(shù)n三個數(shù)位上的數(shù)字中，有一個數(shù)是另外兩個數(shù)的平均數(shù)，求證：F（n）是一個完全平方數(shù)；
（3）設三位自然數(shù)t=100x+60+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x,y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)字與百位上的數(shù)字得到數(shù)t′．若t-t′=693，那么我們稱t為“和順數(shù)”．求所有“和順數(shù)”中F（t）的最大值．發(fā)布：2025/5/24 19:0:1組卷：121引用：1難度：0.4 -
2．對任意一個四位數(shù)n,如果千位與十位上的數(shù)字之和為9，百位與個位上的數(shù)字之和也為9，則稱n為“極數(shù)”．
（1）請任意寫出兩個“極數(shù)”，；
（2）猜想任意一個“極數(shù)”是否是99的倍數(shù)，請說明理由；
（3）如果一個正整數(shù)a是另一個正整數(shù)b的平方，則稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)．若四位數(shù)m為“極數(shù)”，記D（m）=，則滿足D（m）是完全平方數(shù)的所有m的值是 ．m33發(fā)布：2024/8/27 6:0:10組卷：276引用：4難度：0.4 -
3．任意一個大于1的整數(shù)n都可以分割為兩個正整數(shù)的和：n=p+q（p、q是正整數(shù)，且p≤q）．在n的所有這種分割中．如果p、q兩數(shù)的乘積最大，我們就稱p+q是n的“完美分割”．并規(guī)定在“完美分割”時：T（n）=pq.例如：6可以分解成1+5，2+4或3+3．因為1×5＜2×4＜3×3．所以3+3是6的“完美分割”．所以T（6）=3×3=9．
（1）求T（17）的值；
（2）證明：任何一個大于0的偶數(shù)2k（k為正整數(shù)）都有T（2k）=k2；
（3）一個正整數(shù)，由N個數(shù)字組成．若從左向右它的第一位數(shù)能被1整除，它的前兩位數(shù)被2除余1，前三位數(shù)被3除余2，前四位數(shù)被4除余3，…，一直到前N位數(shù)被N除余（N-1），我們稱這樣的數(shù)為“奇特數(shù)”，如：236的第一位數(shù)“2”能被1整除，前兩位數(shù)“23”被2除余1，“236”被3除余2，則236是一個“奇特數(shù)”．若一個小于200的三位“奇特數(shù)”記為t,它的各位數(shù)字之和再加上1為一個完全平方數(shù)，請求出所有“奇特數(shù)”中T（t）的最大值．發(fā)布：2024/11/5 8:0:2組卷：103引用：0難度：0.4