【問題提出】
在由（m×n）個小正方形（邊長為1）組成的長方形網(wǎng)格中，長方形的一條對角線所穿過的小正方形個數(shù)f與m,n有怎樣的關(guān)系？（其中，m、n為正整數(shù)且m≥n）
【問題探究】
我們采用“從特殊到一般”的問題解決策略，先來考慮幾種特殊的情況．
?
（1）當m,n互質(zhì)時，觀察圖1并完成如表：
| 長方形長m | 2 | 3 | 3 | 5 | 4 | 5 | … |
| 長方形寬n | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 4 | … |
| 對角線所穿過的小正方形個數(shù)f | 2 | 3 | 4 | 6 | 6 | x | … |
8
8
；②結(jié)論：當m,n互質(zhì)時，在m×n的長方形網(wǎng)格中，該長方形一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與m,n之間的關(guān)系式是
f=m+n-1
f=m+n-1
．（2）當m,n不互質(zhì)時，不妨設k為m、n的最大公約數(shù)，且m=ka,n=kb（a,b,k為正整數(shù)），觀察圖2并完成如表：
| m×n的長方形 | 4×2 | 6×2 | 6×4 | 9×3 | 9×6 | 15×10 | |
| a | 2 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | … |
| b | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | … |
| 公約數(shù)k | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 5 | … |
| 對角線穿過的小正方形個數(shù)f | 4 | 6 | y | 9 | 12 | z | … |
8
8
，z=20
20
；④當m,n不互質(zhì)時，若m=ka,n=kb,（a,b,k為正整數(shù)）．在（mxn）的長方形網(wǎng)格中，長方形一條對角線所穿過的小正方形的個數(shù)f與a,b,k之間的關(guān)系式是
f=k（a+b-1）
f=k（a+b-1）
．【模型應用】
如果一個長方形的一條對角線穿過的小正方形的個數(shù)是14個，在圖3所示網(wǎng)格圖中用實線畫出滿足條件的小長方形（至少畫出2個）．
【考點】四邊形綜合題．
【答案】8；f=m+n-1；8；20；f=k（a+b-1）
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/8 8:0:9組卷：30引用：1難度：0.6
相似題
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1．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．過點A作對角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點E．P為邊BD上的一個動點（不與端點B，D重合），連接PA，PE，AC．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）求四邊形ABDE的周長和面積；
（3）記△ABP的周長和面積分別為C1和S1，△PDE的周長和面積分別為C2和S2，在點P的運動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的，請直接寫出它的取值范圍．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：574引用：1難度：0.2 -
2．如圖，菱形ABCD中，AB=5，連接BD，sin∠ABD=
，點P是射線BC上一點（不與點B重合），AP與對角線BD交于點E，連接EC．55
（1）求證：AE=CE；
（2）當點P在線段BC上時，設BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面積；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）當點P在線段BC的延長線上時，若△PEC是直角三角形，請直接寫出BP的長．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：254引用：1難度：0.1 -
3．如圖，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，點E從點B出發(fā)沿折線B-C-D向終點D運動．過點E作點E所在的邊（BC或CD）的垂線，交菱形其它的邊于點F，在EF的右側(cè)作矩形EFGH．35
（1）如圖1，點G在AC上．求證：FA=FG．
（2）若EF=FG，當EF過AC中點時，求AG的長．
（3）已知FG=8，設點E的運動路程為s.當s滿足什么條件時，以G，C，H為頂點的三角形與△BEF相似（包括全等）？
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：2044引用：3難度：0.1
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