[發(fā)現(xiàn)]如圖1，有一張三角形紙片ABC，小宏做如下操作：
①取AB、AC的中點D、E，在邊BC上作MN=DE．
②連接EM，過點D、N作DG⊥EM、NH⊥EM，垂足分別為G、H．
③將四邊形BDGM剪下，繞點D旋轉(zhuǎn)180°至四邊形ADPQ的位置，將四邊形CEHN剪下，繞點E旋轉(zhuǎn)180°至四邊形AEST的位置．
④延長PQ、ST交于點F．
小宏發(fā)現(xiàn)并證明了以下幾個結(jié)論是正確的：
①點Q、A、T在一條直線上；
②四邊形FPGS是矩形；
③△FQT≌△HMN；
④四邊形FPGS與△ABC的面積相等．
[任務(wù)1]請你對結(jié)論①進行證明．
[任務(wù)2]如圖2，四邊形ABCD中，AD∥BC，P、Q分別是AB、CD的中點，連接PQ．求證：PQ=12（AD+BC）．
[任務(wù)3]如圖3，有一張四邊形紙片ABCD，AD∥BC，AD=2，BC=8，CD=9，sin∠DCB=45，小麗分別取AB、CD的中點P、Q，在邊BC上作MN=PQ，連接MQ，她仿照小宏的操作，將四邊形ABCD分割、拼成了矩形．如果她拼成的矩形恰好是正方形，求BM的長．
1
2
4
5
【考點】四邊形綜合題．
【答案】[任務(wù)1]見解析；
[任務(wù)2]見解析；
[任務(wù)3]．
[任務(wù)2]見解析；
[任務(wù)3]
1
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/25 8:0:9組卷：1281引用：4難度：0.2
相似題
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1．已知：如圖①，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AC=12cm,BD=16cm.點P從點A出發(fā)，沿AB方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，直線EF從點D出發(fā)，沿DB方向勻速運動，速度為1cm/s,EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運動時，點P也停止運動．連接PC、PE，設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，點A在線段PE的垂直平分線上？
（2）設(shè)四邊形PCFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）如圖②，連接PO、EO，是否存在某一時刻t,使∠POE=90°？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/22 21:0:1組卷：374引用：3難度：0.1 -
2．（1）問題：如圖①，在Rt△ABC中，AB=AC，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，則線段BD和線段CE的數(shù)量關(guān)系是 ，位置關(guān)系是 ．
（2）探索：如圖②，在Rt△ABC與Rt△ADE中，AB=AC，AD=AE，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點D落在BC邊上，試探索線段BD，CD，DE之間滿足的等量關(guān)系，并證明結(jié)論；
（3）應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若BD=12，CD=4，求AD的長．
發(fā)布：2025/5/22 21:0:1組卷：348引用：2難度：0.2 -
3．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8cm,BC=6cm,AD=10cm,點P、Q分別是線段CD和AD上的動點．點P以2cm/s的速度從點D向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從點A向點D運動，當(dāng)其中一點到達終點時，兩點停止運動，將PQ沿AD翻折得到QP'，連接PP'交直線AD于點E，連接AC、BQ．設(shè)運動時間為t（s），回答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，PQ∥AC？
（2）求四邊形BCPQ的面積S（cm2）關(guān)于時間t（s）的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在某時刻t,使點Q在∠P'PD平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．發(fā)布：2025/5/22 21:0:1組卷：244引用：2難度：0.1