問題提出
（1）如圖①，在Rt△ABC中，BC=6，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)，且BD=5，求tan∠DBC的值；
問題解決
（2）如圖②，現(xiàn)有一塊邊長(zhǎng)為1米的正方形鋼板ABCD，其中∠B，∠C，∠D均有不同程度的磨損，不能使用，王師傅計(jì)劃過點(diǎn)A裁出一個(gè)形如四邊形AEGF的零件，其中點(diǎn)F，G，E分別在邊AB，BC，CD上，且點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)．
①王師傅想要使得∠FGE=90°，在手頭沒有直角尺的情況下，進(jìn)行如下操作：
第一步：取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上任意點(diǎn)出M，N兩點(diǎn)；
第二步：將木棒斜放在鋼板上，使點(diǎn)M與點(diǎn)F重合，保持點(diǎn)N不動(dòng)，將木棒進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在BC上，在鋼板上將點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)G；
第三步：將FN延長(zhǎng)，再將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)M落在FN的延長(zhǎng)線上，記點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q；
第四步：作射線GQ交DC于點(diǎn)E，則∠FGE=90°．
請(qǐng)問，王師傅的操作方法是否能夠得到∠FGE=90°？請(qǐng)證明．
②在①的條件下，王師傅想要得到最大面積的四邊形AEGF，請(qǐng)你計(jì)算四邊形AEGF面積的最大值．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）tan∠DBC=；
（2）①王師傅的操作方法能夠得到∠FGE=90°，證明見解析；
②四邊形AEGF面積的最大值為平方米．
4
3
（2）①王師傅的操作方法能夠得到∠FGE=90°，證明見解析；
②四邊形AEGF面積的最大值為
1
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/21 16:0:1組卷：300引用：2難度：0.4
相似題
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1．在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，同學(xué)們對(duì)菱形的折疊問題進(jìn)行了探究．如圖（1），在菱形ABCD中，∠B為銳角，E為BC中點(diǎn)，連接DE，將菱形ABCD沿DE折疊，得到四邊形A′B′ED，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)B′．
（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】A′D與B′E是什么位置關(guān)系？
（2）【思考表達(dá)】連接B′C，判斷∠DEC與∠B′CE 是否相等，并說明理由；
（3）如圖（2），延長(zhǎng)DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)?zhí)骄俊螪EG的度數(shù)，并說明理由；
（4）【綜合運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)∠B=60° 時(shí)，連接B′C，延長(zhǎng)DC交A′B′于點(diǎn)G，連接EG，請(qǐng)寫出B′C，EG，DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．發(fā)布：2025/5/23 14:30:1組卷：458引用：4難度：0.1 -
2．數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問題并解答．問題情境：在?ABCD中，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)，將△PDC沿直線PC折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．
數(shù)學(xué)思考：
（1）“興趣小組”提出的問題是：如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，過點(diǎn)E作EF∥AD，與PC 交于點(diǎn)F，連接DF，則四邊形AEFD是菱形．請(qǐng)你證明“興趣小組”提出的問題；
拓展探究：
（2）“智慧小組”提出的問題是：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，連接PF．試判斷PF與PC的位置關(guān)系，并說明理由；
問題解決：
（3）“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下，提出的問題是：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在AB邊上時(shí)，AP=6，PD=8，DC=20，求AE的長(zhǎng)．
?發(fā)布：2025/5/23 13:0:1組卷：604引用：5難度：0.4 -
3．如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M為線段AD上一點(diǎn)（不與A，D重合），在線段BD上取點(diǎn)N，使DM=DN，連接AN，CM．
（1）觀察猜想：線段AN與CM的數(shù)量關(guān)系是 ，AN與CM的位置關(guān)系是 ；
（2）類比探究：將△DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，請(qǐng)寫出AN與CM的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并就圖2的情形說明理由；
（3）問題解決：已知AD=3，DM=3，將△DMN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)以A、D、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出BN的長(zhǎng)．2發(fā)布：2025/5/23 12:0:2組卷：139引用：3難度：0.1
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