已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為32，其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點，且|OP|=32，PF1?PF2=-34，O為坐標(biāo)原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M為橢圓C的左頂點，A，B是橢圓C上兩個不同的點，直線MA，MB的傾斜角分別為α，β，且α+β=π2；證明：直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
3
2
OP
3
2
P
F
1
P
F
2
3
4
π
2
【答案】（1）+y2=1；
（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可得M（-2，0），
若直線AB的斜率不存在，即x1=x2，y1=-y2，由題意可得直線MA，MB的斜率大于0，即y1y2＞0，矛盾；
因此直線BA的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m．聯(lián)立橢圓方程x2+4y2=4，化為：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
∴Δ=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）＞0，化為：1+4k2＞m2．
∴x1+x2=-，x1x2=．由α+β=，可得tanα?tanβ=1，
∴?=1，
∴（kx1+m）（kx2+m）=（x1+2）（x2+2），化為：（k2-1）x1x2+（mk-2）（x1+x2）+m2-4=0，
∴（k2-1）?+（mk-2）（-）+m2-4=0，
化為3m2-16km+20k2=0，解得m=2k，或m=k．
∴直線AB的方程可以表示為y=kx+2k（舍去），或y=kx+k，
則直線AB恒過定點（-，0）．
x
2
4
（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由題意可得M（-2，0），
若直線AB的斜率不存在，即x1=x2，y1=-y2，由題意可得直線MA，MB的斜率大于0，即y1y2＞0，矛盾；
因此直線BA的斜率存在，設(shè)其方程為y=kx+m．聯(lián)立橢圓方程x2+4y2=4，化為：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，
∴Δ=64k2m2-16（1+4k2）（m2-1）＞0，化為：1+4k2＞m2．
∴x1+x2=-
8
km
1
+
4
k
2
4
（
m
2
-
1
）
1
+
4
k
2
π
2
∴
y
1
x
1
+
2
y
2
x
2
+
2
∴（kx1+m）（kx2+m）=（x1+2）（x2+2），化為：（k2-1）x1x2+（mk-2）（x1+x2）+m2-4=0，
∴（k2-1）?
4
（
m
2
-
1
）
1
+
4
k
2
8
km
1
+
4
k
2
化為3m2-16km+20k2=0，解得m=2k，或m=
10
3
∴直線AB的方程可以表示為y=kx+2k（舍去），或y=kx+
10
3
則直線AB恒過定點（-
10
3
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：319引用：8難度：0.4
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