已知：四邊形ABCD，連接AC，AD=CD，∠DAC=∠ABC，∠DCA=∠BAC，AD∥BC．
（1）如圖1，求證：△ABC是等邊三角形；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于點(diǎn)M，點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），∠FNG=120°，∠FNG的邊NF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，另一邊NG交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，如圖2，點(diǎn)N與點(diǎn)M重合時(shí)，求證：NF=NG；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)N不與點(diǎn)M重合，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥AM，交AC于點(diǎn)E，EN：CM=3：4，AF=3，CG=4，點(diǎn)H為AD上一點(diǎn)，連接EH、GH，GH交CD于點(diǎn)R，EH=EG，求DR的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）證明見(jiàn)解析；
（3）4．
（2）證明見(jiàn)解析；
（3）4．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/29 15:30:1組卷：155引用：1難度：0.1
相似題
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1．【操作發(fā)現(xiàn)】
如圖①，在正方形ABCD中，點(diǎn)N、M分別在邊BC、CD上，連接AM、AN、MN．∠MAN=45°，將△AMD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABE．易證：△ANM≌△ANE，從而得DM+BN=MN．
【實(shí)踐探究】
（1）在圖①條件下，若CN=3，CM=4，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)是．
（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊CD、AB上，且BN=DM．點(diǎn)E、F分別在BM、DN上，∠EAF=45°，連接EF，猜想三條線段EF、BE、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【拓展】
（3）如圖③，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)M、N分別在邊DC、BC上，連接AM，AN，已知∠MAN=45°，BN=1，求DM的長(zhǎng)．
發(fā)布：2025/6/3 15:0:1組卷：1155引用：3難度：0.2 -
2．【解決問(wèn)題】如圖①，在?ABCD中，將△ABC沿著AC折疊得到△AEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連結(jié)EC交AD于點(diǎn)H，連結(jié)DE，求證DE∥AC．
【問(wèn)題應(yīng)用】如圖②，在矩形ABCD中，若∠ACB=30°，將△ABC沿著AC折疊得到△AEC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，連結(jié)EC交AD于點(diǎn)H，連結(jié)DE，當(dāng)DE=2時(shí)，則AD=．
【問(wèn)題拓展】如圖③，在矩形ABCD中，AB=2，點(diǎn)F為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△ABF沿著AF折疊得到△AEF，點(diǎn)B與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連結(jié)DE．
（1）若∠AFB=30°，∠FAD=2∠ADE時(shí)，則AD=．
（2）在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，取DE的中點(diǎn)P，連結(jié)CP，若AD=4時(shí)，直接寫(xiě)出CP的最小值．發(fā)布：2025/6/3 15:30:1組卷：175引用：2難度：0.1 -
3．在△ABC中，AB=AC=10，△ABC的面積為30，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，連接BD，動(dòng)點(diǎn)P由點(diǎn)A以每秒5個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接PD，以PD，DC為邊作平行四邊形PDCQ，設(shè)平行四邊形PDCQ與△ABC的重疊部分面積為S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.
（1）tan∠BCA=；
（2）求點(diǎn)Q落在BC上時(shí)t的值，
（3）在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．
（4）若點(diǎn)A關(guān)于PD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，當(dāng)點(diǎn)A′與點(diǎn)A或點(diǎn)C連線平分△ABC的面積時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．發(fā)布：2025/6/3 15:30:1組卷：108引用：3難度：0.4