在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線l：x=32的距離之比是常數(shù)233，記P的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)A（3，0）兩條互相垂直的直線分別與曲線E交于點(diǎn)M，N（異于點(diǎn)A），求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)．
x
=
3
2
2
3
3
3
【答案】（1）．
（2）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
當(dāng)直線MN斜率不存在，直線AM，AN分別為，，
分別聯(lián)立，解得M（，），N（，-），
此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)（，0）；
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)設(shè)其方程為y=kx+m，（）
由
，消去y得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，
所以Δ=（-6km）2-4（1-3k2）（-3m23）＞0，即m2+1-3k2＞0，
，，
因?yàn)锳M⊥AN，
所以，即，
即，
即，
將，代入化簡(jiǎn)得：，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線MN方程為（不符合題意舍去），
當(dāng)時(shí)，直線MN方程為，MN恒過(guò)定點(diǎn)（，0），
綜上所述直線MN過(guò)定點(diǎn)（，0）．
x
2
3
-
y
2
=
1
（2）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
當(dāng)直線MN斜率不存在，直線AM，AN分別為
y
=
x
-
3
y
=
-
x
+
3
分別聯(lián)立
x
2
3
-
y
2
=
1
2
3
3
2
3
3
此時(shí)直線MN的方程為
x
=
2
3
2
3
當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)設(shè)其方程為y=kx+m，（
k
≠±
3
3
由
x 2 3 - y 2 = 1 |
y = kx + m |
所以Δ=（-6km）2-4（1-3k2）（-3m23）＞0，即m2+1-3k2＞0，
x
1
+
x
2
=
6
km
1
-
3
k
2
x
1
x
2
=
-
3
m
2
-
3
1
-
3
k
2
因?yàn)锳M⊥AN，
所以
k
AM
?
k
AN
=
y
1
x
1
-
3
?
y
2
x
2
-
3
=
-
1
y
1
y
2
=
-
（
x
1
-
3
）
（
x
2
-
3
）
即
（
k
x
1
+
m
）
（
k
x
2
+
m
）
=
-
（
x
1
-
3
）
（
x
2
-
3
）
即
k
2
x
1
x
2
+
km
（
x
1
+
x
2
）
+
m
2
=
x
1
x
2
+
3
（
x
1
+
x
2
）
-
3
將
x
1
+
x
2
=
6
km
1
-
3
k
2
x
1
x
2
=
-
3
m
2
-
3
1
-
3
k
2
m
2
+
3
3
km
+
6
k
2
=
0
所以
m
=
-
3
k
m
=
-
2
3
k
當(dāng)
m
=
-
3
k
y
=
kx
-
3
k
當(dāng)
m
=
-
2
3
k
y
=
k
（
x
-
2
3
）
2
3
綜上所述直線MN過(guò)定點(diǎn)（
2
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：490引用：3難度：0.6
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