已知拋物線于y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0），并與x軸交于另一點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸為直線x=1．

（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）如圖，點(diǎn)P是拋物線上位于直線BC上方的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作x軸、y軸的平行線，交y軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E，當(dāng)PD+PE取最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸l上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于直線BC對(duì)稱，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）拋物線的表達(dá)式為y=-x²+2x+3；
（2）當(dāng)PD+PE最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；
（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1+

，2）或（1-

，2）．

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：330引用：2難度：0.3

相似題

1．已知二次函數(shù)y=ax²+4ax+4a-1的圖象是C₁．
（1）求C₁關(guān)于點(diǎn)R（1，0）中心對(duì)稱的圖象C₂的函數(shù)解析式；
（2）在（1）的條件下，設(shè)拋物線C₁、C₂與y軸的交點(diǎn)分別為A、B，當(dāng)AB=18時(shí)，求a的值．
發(fā)布：2025/5/28 7:0:1組卷：311引用：6難度：0.1
解析
2．已知二次函數(shù)y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，其中a為正整數(shù)．
（1）若函數(shù)y的圖象與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)；
（2）若a依次取1，2，…，2005時(shí)，函數(shù)y的圖象與x軸相交所截得的2005條線段分別為A₁B₁，A₂ B₂，…，A₂₀₀₅ B₂₀₀₅，試求這2005條線段長(zhǎng)之和．
發(fā)布：2025/5/28 8:0:1組卷：134引用：1難度：0.3
解析

3．先閱讀短文，再回答短文后面的問(wèn)題．
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．
下面根據(jù)拋物線的定義，我們來(lái)求拋物線的方程．
如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l,垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合．設(shè)|KF|=p（p＞0），那么焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（
p
2
，0），準(zhǔn)線l的方程為x=-
p
2
．
設(shè)點(diǎn)M（x,y）是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d,由拋物線的定義，拋物線就是滿足|MF|=d的點(diǎn)M的軌跡．
∵|MF|=
（
x
-
p
2
）
2
+
y
2
，d=|x+
p
2
|∴
（
x
-
p
2
）
2
+
y
2
=|x+
p
2
|
將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得y²=2px（p＞0）①
方程①叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是（
p
2
，0），它的準(zhǔn)線方程是x=-
p
2
．
一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同．所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它的幾種形式：y²=-2px,x²=2py,x²=-2py.這四種拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程列表如下：

標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程

y²=2px（p＞0）（
p
2
，
0
） x=-
p
2

y²=-2px（p＞0）（-
p
2
，
0
） x=
p
2

x²=2py（p＞0）（0，
p
2
） y=-
p
2

x²=-2py（p＞0）（0，-
p
2
） y=-
p
2

解答下列問(wèn)題：
（1）①已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=8x,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是
，準(zhǔn)線方程是

②已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-6），則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是
．
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)F（4，0）的距離比它到直線l：x+5=0的距離小1，求點(diǎn)M的軌跡方程．
（3）直線
y
=
3
x
+
b
經(jīng)過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)，與拋物線相交于兩點(diǎn)A、B，求線段AB的長(zhǎng)．

發(fā)布：2025/5/28 7:0:1組卷：267引用：1難度：0.3

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