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2022-2023學(xué)年廣東省深圳市寶安區(qū)西鄉(xiāng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）>
試題詳情
【問題背景】
學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在專題學(xué)習(xí)中遇到一個幾何問題：如圖1，已知等邊△ABC，D是△ABC外一點(diǎn)，連接AD、CD、BD，若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的長．
該小組在研究如圖2中△OMN≌△OPQ中得到啟示，于是作出圖3，從而獲得了以下的解題思路，請你幫忙完善解題過程．
解：如圖3所示，以DC為邊作等邊△CDE，連接AE．
∵△ABC、△DCE是等邊三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°．
∴∠BCA+∠ACD= ∠DCE∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD=5．
∵∠ADC=30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，
∴CD=DE= 44．
【嘗試應(yīng)用】
如圖4，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=2，BC=4，以AC為直角邊，A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△ACD，求BD的長．
【拓展創(chuàng)新】
如圖5，在△ABC中，AB=4，AC=8，以BC為邊向外作等腰△BCD，BD=CD，∠BDC=120°，連接AD，求AD的最大值．
2
【考點(diǎn)】三角形綜合題．
【答案】∠DCE；△BCD≌△ACE（SAS）；4
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/7/3 8:0:9組卷：2615引用：3難度：0.3
相似題
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1．【問題呈現(xiàn)】某學(xué)校的數(shù)學(xué)社團(tuán)成員在學(xué)習(xí)時遇到這樣一個題目：
如圖1，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在DC的延長線上，過E作EF∥AB交AC的延長線于點(diǎn)F，當(dāng)BD：DE=1時，試說明：AF+EF=AB；
【方法探究】
社團(tuán)成員在研究探討后，提出了下面的思路：
在圖1中，延長線段AD，交線段EF的延長線于點(diǎn)M，可以用AAS明△ABD≌△MED，從而得到EM=AB…
（1）請接著完成剩下的說理過程；
【方法運(yùn)用】
（2）在圖1中，若BD：DE=k,則線段AF、EF、AB之間的數(shù)量關(guān)系為 （用含k的式子表示，不需要證明）；
（3）如圖2，若AB=7，EF=6，AF=8，BE=12，求出BD的長；
【拓展提升】
（4）如圖3，若DE=2BD，連接AE，已知AB=9，tan∠DAF=，AE=212，且AF＞EF，則邊EF的長=．17
發(fā)布：2025/5/25 0:0:2組卷：320引用：4難度：0.2 -
2．如圖，OC為∠AOB的角平分線，∠AOB=α（0°＜α＜180°），點(diǎn)D為射線OA上一點(diǎn)，點(diǎn)M，N為射線OB上兩個動點(diǎn)且滿足MN=OD，線段ON的垂直平分線交OC于點(diǎn)P，交OB于點(diǎn)Q，連接DP，MP．
（1）如圖1，若α=90°時，線段DP與線段MP的數(shù)量關(guān)系為 ．
（2）如圖2，若α為任意角度時，（1）中的結(jié)論是否變化，請說明理由；
（3）如圖3，若α=60°時，連接DM，請直接寫出的最小值．DMON發(fā)布：2025/5/25 1:0:1組卷：92引用：2難度：0.1 -
3．在△ABC中，AB=BC，∠B=45°，AD為BC邊上的高，M為線段AB上一動點(diǎn)．
（1）如圖1，連接CM交AD于Q，若∠ACM=45°，AB=．求線段DQ的長度；2
（2）如圖2，點(diǎn)M，N在線段AB上，且AM=BN，連接CM，CN分別交線段AD于點(diǎn)Q、P，若點(diǎn)P為線段CN的中點(diǎn)，求證：AQ+CD=AB；2
（3）如圖3，若AD=4，當(dāng)點(diǎn)M在運(yùn)動過程中，射線DB上有一點(diǎn)G，滿足BM=10DG，AG+2MG的最小值．55
發(fā)布：2025/5/24 23:0:1組卷：102引用：1難度：0.1