【問題背景】
學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組在專題學(xué)習(xí)中遇到一個幾何問題：如圖1，已知等邊△ABC，D是△ABC外一點，連接AD、CD、BD，若∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的長．
該小組在研究如圖2中△OMN≌△OPQ中得到啟示，于是作出圖3，從而獲得了以下的解題思路，請你幫忙完善解題過程．
解：如圖3所示，以DC為邊作等邊△CDE，連接AE．
∵△ABC、△DCE是等邊三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=60°．
∴∠BCA+∠ACD=∠DCE∠DCE+∠ACD，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD=5．
∵∠ADC=30°，∠CDE=60°，
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，
∴CD=DE=44．
【嘗試應(yīng)用】
如圖4，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=2，BC=4，以AC為直角邊，A為直角頂點作等腰直角△ACD，求BD的長．
【拓展創(chuàng)新】
如圖5，在△ABC中，AB=4，AC=8，以BC為邊向外作等腰△BCD，BD=CD，∠BDC=120°，連接AD，求AD的最大值．
2
【考點】三角形綜合題．
【答案】∠DCE；△BCD≌△ACE（SAS）；4
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/3 8:0:9組卷：2542引用：3難度：0.3
相似題
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1．已知直角△ABC，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF，連接EF．
（1）如圖1，求證：∠BED=∠AFD；
（2）如圖1，求證：BE2+CF2=EF2；
（3）如圖2，當(dāng)∠ABC=45°，若BE=4，CF=3，求△DEF的面積．發(fā)布：2024/12/23 14:0:1組卷：185引用：3難度：0.2 -
2．已知A（0，4），B（-4，0），D（9，4），C（12，0），動點P從點A出發(fā)，在線段AD上，以每秒1個單位的速度向點D運動：動點Q從點C出發(fā)，在線段BC上，以每秒2個單位的速度向點B運動，點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)其中一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止運動，設(shè)運動時間為t（秒）．
（1）當(dāng)t=秒時，PQ平分線段BD；
（2）當(dāng)t=秒時，PQ⊥x軸；
（3）當(dāng)時，求t的值．∠PQC=12∠D發(fā)布：2024/12/23 15:0:1組卷：145引用：3難度：0.1 -
3．一副三角板如圖1擺放，∠C=∠DFE=90°，∠B=30°，∠E=45°，點F在BC上，點A在DF上，且AF平分∠CAB，現(xiàn)將三角板DFE繞點F順時針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點D落在射線FB上時停止旋轉(zhuǎn)）．
（1）當(dāng)∠AFD=°時，DF∥AC；當(dāng)∠AFD=°時，DF⊥AB；
（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，DF與AB的交點記為P，如圖2，若△AFP有兩個內(nèi)角相等，求∠APD的度數(shù)；
（3）當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點M、N時，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說明理由．
發(fā)布：2024/12/23 18:30:1組卷：1693引用：10難度：0.1