點P、點P′和點Q為平面直角坐標(biāo)系中的三個點，給出如下定義：若PQ=P′Q，且∠PQP′=90°，則稱P′為點P關(guān)于點Q的等垂點．
（1）已知點Q的坐標(biāo)為（4，0），
①如圖1，若點P為原點，直接寫出P關(guān)于Q的等垂點P′的坐標(biāo) （4，4）或（4，-4）（4，4）或（4，-4）；
②如圖2，P為y軸上一點，且點P關(guān)于點Q的等垂點P′恰好在一次函數(shù)y=2x+3的圖象上，求點P′的坐標(biāo)；
（2）如圖3，若點Q的坐標(biāo)為（1，-2），P為直線y=2上一點，P關(guān)于點Q的等垂點P′位于y軸右側(cè)，連接OP′，QP′，請問OP′+QP′是否有最小值？若有，請求出最小值；若無，請說明理由．
【考點】一次函數(shù)綜合題．
【答案】（4，4）或（4，-4）
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/10 8:0:8組卷：2070引用：4難度：0.3
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1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx+b與x軸交于點B（-5，0），與y軸交于點A，直線過點A，與x軸交于點C，點P是x軸上方一個動點．y=-43x+4
（1）求直線AB的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若點P在線段AB上，且S△APC=S△AOB，求點P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng) S△PBC=S△ABC時，動點M從點B出發(fā)，先運(yùn)動到點P，再從點P運(yùn)動到點C后停止運(yùn)動．點M的運(yùn)動速度始終為每秒1個單位長度，運(yùn)動的總時間為t（秒），請直接寫出t的最小值．發(fā)布：2025/5/22 18:30:2組卷：670引用：1難度：0.3 -
2．給出如下定義：對于線段PQ，以點P為中心，把點Q逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點R，點R叫做線段PQ關(guān)于點P的“完美點”．
例如等邊△ABC中，點C就是線段AB關(guān)于點A的“完美點”．
在平面直角坐標(biāo)系xOy中．
（1）已知點A（0，2），在A1（，1），A2（-3，1），A3（1，3），A4（1，-3）中，是線段OA關(guān)于點O的“完美點”；3
（2）直線y=x+4上存在線段BB′，若點B′恰好是線段BO關(guān)于點B的“完美點”，求線段BB′的長；
（3）若OC=4，OE=2，點D是線段OC關(guān)于點O的“完美點”，點F是線段EO關(guān)于點E的“完美點”．當(dāng)線段DF分別取得最大值和最小值時，直接寫出線段CE的長．發(fā)布：2025/5/22 15:30:1組卷：595引用：1難度：0.1 -
3．如圖，直線y=-x-6與x軸交于點A，點B（-6，m）也在該直線上，點B關(guān)于x軸的對稱點為點C，直線BC交x軸于點D，點E坐標(biāo)為（0，12）．112
（1）m的值為 ，點C的坐標(biāo)為 ；
（2）求直線AC的函數(shù)表達(dá)式；
（3）晶晶有個想法：“設(shè)S=S△ABD+S四邊形DCEO.由點B與點C關(guān)于x軸對稱易得S△ABD=S△ACD，而△ACD與四邊形DCEO拼接后可看成△AOE，這樣求S便轉(zhuǎn)化為直接求△AOE的面積．”但經(jīng)反復(fù)演算，發(fā)現(xiàn)S△AOE≠S，請通過計算解釋她的想法錯在哪里？發(fā)布：2025/5/23 2:30:1組卷：268引用：4難度：0.5