橢圓Γ：x29+y24=1．
（1）若拋物線C的焦點與Γ的焦點重合，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若Γ的上頂點A、右焦點F及x軸上一點M構(gòu)成直角三角形，求點M的坐標(biāo)；
（3）若O為Γ的中心，P為Γ上一點（非Γ的頂點），過Γ的左頂點B，作BQ∥OP，BQ交y軸于點Q，交Γ于點N，求證：BN?BQ=2OP2．
x
2
9
y
2
4
BN
BQ
OP
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）y2=±4；
（2）M（0，0）或（-，0）；
（3）證明：由B（-3，0），BQ∥OP，
設(shè)直線BQ的方程為x=my-3，直線OP的方程為x=my，
由
，消x可得（4m2+9）y2-24my=0，
解得y=0，或y=，
則xN=-3=
則N點的坐標(biāo)為（，），
對于直線方程x=my-3，令x=0，可得y=
∴Q（0，），
∴?=（+3，）?（3，）=+=
由
，解得=，=
解得
或
，
∴22=2（+）=2（+）=，
∴?=22．
5
（2）M（0，0）或（-
4
5
5
（3）證明：由B（-3，0），BQ∥OP，
設(shè)直線BQ的方程為x=my-3，直線OP的方程為x=my，
由
x 2 9 + y 2 4 = 1 |
x = my - 3 |
解得y=0，或y=
24
m
4
m
2
+
9
則xN=
24
m
2
4
m
2
+
9
12
m
2
-
27
4
m
2
+
9
則N點的坐標(biāo)為（
12
m
2
-
27
4
m
2
+
9
24
m
4
m
2
+
9
對于直線方程x=my-3，令x=0，可得y=
3
m
∴Q（0，
3
m
∴
BN
BQ
12
m
2
-
27
4
m
2
+
9
24
m
4
m
2
+
9
3
m
72
m
2
4
m
2
+
9
72
4
m
2
+
9
72
（
m
2
+
1
）
4
m
2
+
9
由
x 2 9 + y 2 4 = 1 |
x = my |
y
2
p
36
4
m
2
+
9
x
2
p
36
m
2
4
m
2
+
9
解得
x = 6 m 4 m 2 + 9 |
y = 6 4 m 2 + 9 |
x = - 6 m 4 m 2 + 9 |
y = - 6 4 m 2 + 9 |
∴2
OP
x
2
p
y
2
p
36
4
m
2
+
9
36
m
2
4
m
2
+
9
72
（
m
2
+
1
）
4
m
2
+
9
∴
BN
BQ
OP
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：236引用：2難度：0.5
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