綜合與實踐
【經(jīng)典再現(xiàn)】
人教版八年級數(shù)學下冊教科書69頁14題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．求證AE=EF．（提示：取AB的中點H，連接HE．）
（1）請你思考題中的“提示”，這樣添加輔助線的目的是構(gòu)造出 △AHE△AHE≌△ECF△ECF，進而得到AE=EF．
【類比探究】
（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，且ABBC=n，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交矩形外角的平分線CF于點F，求AEEF的值（用含n的式子表示）；
【綜合應(yīng)用】
（3）如圖3，P為邊CD上一點，連接AP，PF，在（2）的基礎(chǔ)上，當n=32，∠PAE=45°，PF=5時，請直接寫出BC的長．
AB
BC
=
n
AE
EF
n
=
3
2
5
【考點】相似形綜合題．
【答案】△AHE；△ECF
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/4 8:0:9組卷：580引用：3難度：0.1
相似題
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1．我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個關(guān)系解決相關(guān)問題．
（1）如圖一，在等腰△ABC中，AB=AC，BC邊上有一點D，過點D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，過點C作CG⊥AB于G．利用面積證明：DE+DF=CG．
（2）如圖二，將矩形ABCD沿著EF折疊，使點A與點C重合，點B落在B'處，點G為折痕EF上一點，過點G作GM⊥FC于M，GN⊥BC于N．若BC=8，BE=3，求GM+GN的長．
（3）如圖三，在四邊形ABCD中，E為線段BC上的一點，EA⊥AB，ED⊥CD，連接BD，且=ABCD，BC=AEDE，CD=3，BD=6，求ED+EA的長．51
發(fā)布：2025/5/22 8:30:1組卷：1641引用：4難度：0.3 -
2．綜合與實踐
我們在沒有量角器或三角尺的情況下，用折疊特殊矩形紙片的方法進行如下操作也可以得到幾個相似的含有30°角的直角三角形．
實踐操作：第一步：如圖①，矩形紙片ABCD的邊長AB=，將矩形紙片ABCD對折，使點D與點A重合，點C與點B重合，折痕為EF，然后展開，EF與CA交于點H．3
第二步：如圖②，將矩形紙片ABCD沿過點C的直線再次折疊，使CD落在對角線CA上，點D的對應(yīng)點D'恰好與點H重合，折痕為CG，將矩形紙片展平，連接GH．
問題解決：
（1）在圖②中，sin∠ACB=，=；EGCG
（2）在圖②中，CH2=CG?；從圖②中選擇一條線段填在空白處，并證明你的結(jié)論；
拓展延伸：
（3）將上面的矩形紙片ABCD沿過點C的直線折疊，點D的對應(yīng)點D'落在矩形的內(nèi)部或一邊上，設(shè)∠DCD'=a,若0°＜a≤90°，連接D'A，D'A的長度為m,則m的取值范圍是 ．
發(fā)布：2025/5/22 9:30:1組卷：681引用：7難度：0.1 -
3．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，E是AD上一點，AE=2．F是AB上的動點，連接EF，G是EF上一點，且為常數(shù)，k≠0）．分別過點F、G作AB、EF的垂線相交于點P．設(shè)AF的長為x,PF的長為y.GFEF=k（k
（1）若，則y的值是 ；k=12，x=4
（2）求y與x之間的函數(shù)表達式；
（3）在點F從點A到點B的整個運動過程中，若線段CD上存在點P，則k的值應(yīng)滿足什么條件？直接寫出k的取值范圍．發(fā)布：2025/5/22 8:30:1組卷：2225引用：1難度：0.3