已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
S
n
=
a
n
（
a
n
+
1
）
2
．
（1）計算a₁，a₂，a₃，猜想數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）用數(shù)學歸納法證明數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）證明不等式
1
a
1
2
+
1
a
2
2
+
1
a
3
2
+
…
+
1
a
n
2
＜
7
4
對任意n∈N^*恒成立．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】

【點評】

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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：381引用：2難度：0.5

相似題

1．在數(shù)列{a_n}中，
a
1
=
1
，
a
n
+
1
=
2
a
n
2
+
a
n
（
n
∈
N
*
）
．
（Ⅰ）分別求出a₂，a₃，a₄，并根據(jù)上述結(jié)果猜想這個數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）請用數(shù)學歸納法證明（Ⅰ）中的猜想．
發(fā)布：2024/12/28 23:30:2組卷：38引用：2難度：0.6
解析
2．如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），?，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜?＜y_n）是曲線C：y²=3x（y≥0）上的n個點，點A_i（a_i，0）（i=1，2，3，?，n）在x軸的正半軸上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐標原點）．
（1）求a₁、a₂、a₃的值及數(shù)列{a_n}的遞推公式；
（2）猜想點A_n（a_n，0）的橫坐標a_n關于n的表達式，并用數(shù)學歸納法證明．
發(fā)布：2024/7/13 8:0:9組卷：48引用：2難度：0.5
解析
3．已知點P_n（a_n，b_n）滿足a_n+1=a_nb_n+1，b_n+1=
b
n
1
-
4
a
2
n
，且點P₁的坐標為（1，-1）．
（1）求過點P₁、P₂的直線l的方程；
（2）試用數(shù)學歸納法證明：對于任意n∈N，n≥1，點P_n都在（1）中的直線l上；
（3）試求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式．
發(fā)布：2024/8/15 5:0:1組卷：150引用：1難度：0.4
解析

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1．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an2+an（n∈N*）．（Ⅰ）分別求出a2，a3，a4，并根據(jù)上述結(jié)果猜想這個數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）請用數(shù)學歸納法證明（Ⅰ）中的猜想．