已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上有一點(diǎn)P（4，m）到焦點(diǎn)的距離為5．
（1）求該拋物線C的方程；
（2）已知拋物線上一點(diǎn)M（t,4），過點(diǎn)M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷直線DE是否過定點(diǎn)？并說明理由．
【考點(diǎn)】拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線．
【答案】（1）y2=4x．
（2）過定點(diǎn)（8，-4），理由如下：
由（1）可得點(diǎn)M（4，4），可得直線DE的斜率不為0，
設(shè)直線DE的方程為：x=my+t，
聯(lián)立
，得y2-4my-4t=0，
則Δ=16m2+16t＞0①．
設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4t．
∵?=（x1-4，y1-4）?（x2-4，y2-4），
=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16，
=，
=，
=t2-16m2-12t+32-16m=0
即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，
代入①式檢驗(yàn)均滿足Δ＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．
∴直線過定點(diǎn)（8，-4）（定點(diǎn)（4，4）不滿足題意，故舍去）．
（2）過定點(diǎn)（8，-4），理由如下：
由（1）可得點(diǎn)M（4，4），可得直線DE的斜率不為0，
設(shè)直線DE的方程為：x=my+t，
聯(lián)立
x = my + t |
y 2 = 4 x |
則Δ=16m2+16t＞0①．
設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4t．
∵
MD
ME
=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16，
=
y
1
2
4
?
y
2
2
4
-
4
（
y
1
2
4
+
y
2
2
4
）
+
16
+
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
16
=
（
y
1
y
2
）
2
16
-
（
y
1
+
y
2
）
2
+
3
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
32
=t2-16m2-12t+32-16m=0
即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，
代入①式檢驗(yàn)均滿足Δ＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．
∴直線過定點(diǎn)（8，-4）（定點(diǎn)（4，4）不滿足題意，故舍去）．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：429引用：7難度：0.3
相似題
-
1．傾斜角為
的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為．π4發(fā)布：2024/12/29 9:0:1組卷：218引用：4難度：0.6 -
2．拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P（x,y）為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線的準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，則
的最大值是（ ）|PA||PF|發(fā)布：2024/12/31 22:0:3組卷：203引用：5難度：0.6 -
3．拋物線2y2=x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是．
發(fā)布：2024/12/29 4:30:2組卷：12引用：5難度：0.7