已知

a

=（

1

2

，

3

2

），

b

=（sin2ωx,cos2ωx+1），其中ω＞0，f（x）=

a

?

b

，且函數(shù)f（x）在x=

π

12

處取得最大值．
（1）求ω的最小值，并求出此時(shí)函數(shù)f（x）的解析式和最小正周期；
（2）在（1）的條件下，先將y=f（x）的圖像上的所有點(diǎn)向右平移

π

4

個(gè)單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后將所得圖像上所有的點(diǎn)向下平移

3

2

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖像．若在區(qū)間[

π

3

，

5

π

3

]，上，方程g（x）+2a-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，已知點(diǎn)P是函數(shù)y=h（x）圖像上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為函數(shù)y=f（x）圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)A（

π

6

，-

3

4

），且滿足

OP

=

1

2

OQ

+

OA

，求h（x）+

1

4

≥0的解集．