已知點P（1，32）在橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)2為橢圓C的右焦點，A1，A2分別為橢圓C的左，右兩個頂點．若過點B（4，0）且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M，N兩點，且線段MA1，MA2的斜率之積為-34．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線A1M與A2N相交于點G，證明：G，P，F(xiàn)2三點共線．
P
（
1
，
3
2
）
C
：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
（
a
＞
b
＞
0
）
-
3
4
【考點】直線與橢圓的綜合．
【答案】（1）；
（2）證明：由（1）可得PF2⊥x軸，要證G，P，F(xiàn)2三點共線，只需證GF2⊥x軸，即證xG=1，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)解方程
，
可得，（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，Δ＞0，
由韋達(dá)定理可得，，（*），
因為直線，，
即證：，即3k（x1-4）?（x2-2）=-k（x2-4）?（x1+2），
即證：4x1x2-10（x1+x2）+16=0，
將（*）代入上式可得?16k2-3-20k2+3+4k2=0，
此式明顯成立，原命題得證，
所以G，P，F(xiàn)2三點共線．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
（2）證明：由（1）可得PF2⊥x軸，要證G，P，F(xiàn)2三點共線，只需證GF2⊥x軸，即證xG=1，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)解方程
y = k （ x - 4 ） |
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
可得，（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0，Δ＞0，
由韋達(dá)定理可得，
x
1
+
x
2
=
32
k
2
3
+
4
k
2
x
1
x
2
=
64
k
2
-
12
3
+
4
k
2
因為直線
l
A
1
M
：
y
=
y
1
x
1
+
2
（
x
+
2
）
l
A
2
N
：
y
=
y
2
x
2
-
2
（
x
-
2
）
即證：
3
y
1
x
1
+
2
=
-
y
2
x
2
-
2
即證：4x1x2-10（x1+x2）+16=0，
將（*）代入上式可得
4
×
（
64
k
2
-
12
）
3
+
4
k
2
-
10
×
32
k
2
3
+
4
k
2
+
16
=
0
此式明顯成立，原命題得證，
所以G，P，F(xiàn)2三點共線．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：68引用：2難度：0.3
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