已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的離心率為32，短軸端點到焦點的距離為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A，B為橢圓C上任意兩點，O為坐標原點，且OA⊥OB．求證：原點O到直線AB的距離為定值，并求出該定值．
x
2
a
2
+
y
2
b
2
3
2
【答案】（1）+y2=1；
（2）證明：當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=±；
此時，原點O到直線AB的距離為；
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入橢圓方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
則Δ=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-4）=16（1+4k2-m2）＞0，
x1+x2=-，x1x2=，
則y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2?+km（-）+m2=，
由OA⊥OB得kOAkOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
所以=0，即m2=（1+k2），
所以原點O到直線AB的距離為d==，
綜上，原點O到直線AB的距離為定值．
x
2
4
（2）證明：當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=±
2
5
5
此時，原點O到直線AB的距離為
2
5
5
當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
代入橢圓方程x2+4y2=4，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，
則Δ=（8km）2-4（1+4k2）（4m2-4）=16（1+4k2-m2）＞0，
x1+x2=-
8
km
1
+
4
k
2
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
則y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=k2?
4
m
2
-
4
1
+
4
k
2
8
km
1
+
4
k
2
m
2
-
4
k
2
1
+
4
k
2
由OA⊥OB得kOAkOB=-1，即x1x2+y1y2=0，
所以
5
m
2
-
4
-
4
k
2
1
+
4
k
2
4
5
所以原點O到直線AB的距離為d=
|
m
|
1
+
k
2
2
5
5
綜上，原點O到直線AB的距離為定值
2
5
5
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：892引用：3難度：0.5
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