如圖1，點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果ACAB=BCAC，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)．某研究小組在進(jìn)行課題學(xué)習(xí)時，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線l將一個面積為s的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為S1，S2，如果s1s=s2s1，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線．
（1）研究小組猜想：在三角形ABC中，若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖2），則直線CD是三角形ABC的黃金分割線．你認(rèn)為對嗎？為什么？
（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形ABC的黃金分割線？
（3）研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過點(diǎn)C任作一條直線交AB于點(diǎn)E，再過點(diǎn)D（D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)）作直線DF，且DF∥CE，交AC于點(diǎn)F，連接EF（如圖3），則直線EF也是三角形ABC的黃金分割線．
請你說明理由．
（4）如圖4，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF平行AD，交DC于點(diǎn)F，顯然直線EF是平行四邊形ABCD的黃金分割線．請你畫一條平行四邊形ABCD的黃金分割線，使它不經(jīng)過平行四邊形ABCD各邊黃金分割點(diǎn)．
AC
AB
BC
AC
s
1
s
s
2
s
1
【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：334引用：4難度：0.3
相似題
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1．如圖1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的頂點(diǎn)D在BC上，DQ經(jīng)過點(diǎn)A，DP交AB于點(diǎn)E，且BD=3，∠PDQ=∠B．
（1）BE的長是 ；
（2）如圖2，把∠PDQ繞頂點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中始終保持∠PDQ的開口在BC的上方，且DP不與DB重合，DQ交AB于點(diǎn)G，交CA的延長線于點(diǎn)F（點(diǎn)F不與點(diǎn)A重合），設(shè)BE=x,AG=y.
①請說明△BDE與△CFD相似；
②請直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
③是否存在以∠GFA或∠FGA為頂角的等腰△AGF？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由．
發(fā)布：2025/5/26 4:0:1組卷：202引用：1難度：0.2 -
2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)A運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)C時，兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）求線段CD的長；
（2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）當(dāng)t為何值時，△CPQ與△CAD相似？請直接寫出t的值．發(fā)布：2025/5/26 3:0:2組卷：983引用：5難度：0.3 -
3．如圖，已知平行四邊形ABCD中，
，AB=5，tanA=2，點(diǎn)E是射線AD上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AD，垂足為點(diǎn)E，交射線AB于點(diǎn)F，交射線CB于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CE、CF．設(shè)AE=m.AD=5
（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時．
①求證：△AEF∽△BGF．
②當(dāng)S△DCE=4S△BFG時，求AE：ED的值．
（2）當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長線上時，是否存在這樣的點(diǎn)E使△AEF與△CFG相似？如果存在求出此時AE的長度．
發(fā)布：2025/5/26 2:0:6組卷：86引用：1難度：0.2