已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)E（8，0），F(xiàn)（5，0）的距離之比等于2，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)l：y=kx與曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)A、B．
（1）求k的取值范圍；
（2）分別取k=0及k=12，在弦AB上，確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)，使|AQ||QB|=|OA||OB|（|OA|＜|OB|）成立．由此猜想出一般結(jié)論，并給出證明．
1
2
|
AQ
|
|
QB
|
=
|
OA
|
|
OB
|
【考點(diǎn)】直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．
【答案】（Ⅰ）（x-4）2+y2=4．
（Ⅱ）（1）．
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），則有0＜x1＜x0＜x2．
當(dāng)k=0時(shí)，A（2，0），B（6，0），
由知，，
∴x0=3，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）．
當(dāng)k=時(shí)，由
得方程5x2-32x+48=0，∴，
由知，，
整理得，∴
∴即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，）．
猜想，點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=3上．
證明如下：
方法1，由
得（1+k2）x2-8x+12=0，
∴①，②
由知，，
整理得
即點(diǎn)Q在定直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)的方程是x=3．
（Ⅱ）（1）
-
3
3
＜
k
＜
3
3
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），則有0＜x1＜x0＜x2．
當(dāng)k=0時(shí)，A（2，0），B（6，0），
由
|
AQ
|
|
QB
|
=
|
OA
|
|
OB
|
x
0
-
2
6
-
x
0
=
2
6
∴x0=3，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，0）．
當(dāng)k=
1
2
y = 1 2 x |
（ x - 4 ） 2 + y 2 = 4 |
得方程5x2-32x+48=0，∴
x
1
+
x
2
=
32
5
x
1
x
2
=
48
5
由
|
AQ
|
|
QB
|
=
|
OA
|
|
OB
|
x
0
-
x
1
x
2
-
x
0
=
x
1
x
2
整理得
x
0
=
2
x
1
x
2
x
1
+
x
2
=
3
y
0
=
3
2
∴即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，
3
2
猜想，點(diǎn)Q在直線(xiàn)x=3上．
證明如下：
方法1，由
y = kx |
（ x - 4 ） 2 + y 2 = 4 |
得（1+k2）x2-8x+12=0，
∴
x
1
+
x
2
=
8
1
+
k
2
x
1
x
2
=
12
1
+
k
2
由
|
AQ
|
|
QB
|
=
|
OA
|
|
OB
|
x
0
-
x
1
x
2
-
x
0
=
x
1
x
2
整理得
x
0
=
2
x
1
x
2
x
1
+
x
2
=
3
即點(diǎn)Q在定直線(xiàn)上，這條直線(xiàn)的方程是x=3．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
聲明：本試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書(shū)面同意，不得復(fù)制發(fā)布。
發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：15引用：2難度：0.5
相似題
-
1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線(xiàn)ax-y+2=0與圓C：x2+y2-2x-3=0交于A，B兩點(diǎn)，若鈍角△ABC的面積為
，則實(shí)數(shù)a的值是（ ?。?/h2>3發(fā)布：2025/1/5 18:30:5組卷：111引用：1難度：0.6 -
2．已知x,y滿(mǎn)足x2+y2=1，則
的最小值為（ ?。?/h2>y-2x-1發(fā)布：2024/12/29 10:30:1組卷：30引用：2難度：0.9 -
3．已知圓C：x2+y2+2ay=0（a＞0）截直線(xiàn)
所得的弦長(zhǎng)為3x-y=0，則圓C與圓C'：（x-1）2+（y+1）2=1的位置關(guān)系是（ ?。?/h2>23發(fā)布：2025/1/1 11:0:5組卷：86引用：4難度：0.6
相關(guān)試卷