【問(wèn)題情境】
（1）古希臘著名數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》提出了射影定理，又稱(chēng)“歐幾里德定理”：在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項(xiàng)，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)．射影定理是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．
其符號(hào)語(yǔ)言是：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，則：（1）CD2=AD?BD，（2）AC2=AB?AD，（3）BC2=AB?BD；請(qǐng)你證明定理中的結(jié)論（3）BC2=AB?BD．
【結(jié)論運(yùn)用】
（2）如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)O是對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為F，連接OF，
①求證：△BOF∽△BED；
②若BE=210，求OF的長(zhǎng)．
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【考點(diǎn)】相似形綜合題．
【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2025/5/22 0:0:2組卷：1315引用：5難度：0.3
相似題
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1．在平面內(nèi)，先將一個(gè)多邊形以自身的一個(gè)頂點(diǎn)為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)翻折，我們稱(chēng)這種變換為自位似軸對(duì)稱(chēng)變換，變換前后的圖形成自位似軸對(duì)稱(chēng)．例如：如圖1，先將△ABC以點(diǎn)A為位似中心縮小，得到△ADE，再將△ADE沿過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l翻折，得到△AFG，則△ABC和△AFG成自位似軸對(duì)稱(chēng)．
（1）如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC＜BC，CD⊥AB，垂足為D．下列3對(duì)三角形：①△ABC和△ACD；②△BAC和△BCD；③△DAC和△DCB．其中成自位似軸對(duì)稱(chēng)的是 ；（填寫(xiě)所有符合要求的序號(hào)）
（2）如圖3，已知△ABC經(jīng)過(guò)自位似軸對(duì)稱(chēng)變換得到△ADE，Q是DE上一點(diǎn)，用直尺和圓規(guī)作點(diǎn)P，使P與Q是該變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；
（3）如圖4，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)．∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，連結(jié)DE，求證：DE∥AC．發(fā)布：2025/5/22 7:0:2組卷：2170引用：1難度：0.2 -
2．折紙是我國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)，通過(guò)折紙不僅可以得到許多美麗的圖形，折紙的過(guò)程還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)，在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開(kāi)展了數(shù)學(xué)活動(dòng)．
（1）操作判斷：
在AD上選一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在正方形內(nèi)部的點(diǎn)M處，把紙片展平，過(guò)M作EF∥BC交AB、CD、BP于點(diǎn)E、F、N，連接PM并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)Q，連接BQ，如圖①，當(dāng)E為AB中點(diǎn)時(shí)，△PMN是 三角形．
（2）遷移探究：
如圖②，若BE=5，且ME?MF=10，求正方形ABCD的邊長(zhǎng)．
（3）拓展應(yīng)用：
如圖③，若（n＞1），直接寫(xiě)出MNBC=1n的值為 ．CQBC
發(fā)布：2025/5/22 7:0:2組卷：2085引用：6難度：0.3 -
3．如圖，△ABC為邊長(zhǎng)等于8的等邊三角形，點(diǎn)F是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），F(xiàn)D⊥AB，F(xiàn)E⊥AC，垂足分別是D、E．
（1）求證：△BDF∽△CEF；
（2）若CF=a,四邊形ADFE面積為S，求出S與a之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出a的取值范圍；
（3）已知A、D、F、E四點(diǎn)在同一圓上，若tan∠EDF=，求此圓半徑．32發(fā)布：2025/5/22 6:30:1組卷：62引用：1難度：0.4
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