已知F1（-1，0）和F2（1，0）是橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，且點(diǎn)P（1，32）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；
（Ⅱ）若橢圓C與直線y=x+m交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|=1227，求m的值；
（Ⅲ）若點(diǎn)A（x1，y1）與點(diǎn)P（x2，y2）在橢圓C上，且點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)P在第二象限，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求證：當(dāng)x21+x22=4時(shí)，三角形△PAB的面積為定值．
x
2
a
2
y
2
b
2
3
2
12
2
7
x
2
1
x
2
2
【考點(diǎn)】橢圓的幾何特征．
【答案】（Ⅰ）；e=；
（Ⅱ）m=±2；
（Ⅲ）證明：設(shè)AP的直線方程為y=kx+n，
∴
，可得（3+4k2）x+8knx+4n2-12=0；
∴
，=4，
∴；d=，|AB|=，
S△PAB=2S△POB=d|AB|==2．
x
2
4
+
y
2
3
=
1
1
2
（Ⅱ）m=±2；
（Ⅲ）證明：設(shè)AP的直線方程為y=kx+n，
∴
x 2 4 + y 2 3 = 1 |
y = kx + n |
∴
Δ ＞ 0 |
x 1 + x 2 = - 8 kn 3 + 4 k 2 |
x 1 x 2 = 4 n 2 - 12 3 + 4 k 2 |
x
2
1
+
x
2
2
=
（
x
1
+
x
2
）
2
-
2
x
1
x
2
∴
n
2
=
4
k
2
+
3
2
|
n
|
1
+
k
2
1
+
k
2
（
x
1
+
x
2
）
-
4
x
1
x
2
S△PAB=2S△POB=d|AB|=
4
3
|
n
|
4
k
2
-
n
2
+
3
3
+
4
k
2
3
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：156引用：1難度：0.5
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-
1．已知橢圓
=1（a＞b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），橢圓上一點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6，則該橢圓的方程為（ ?。?/h2>x2a2+y2b2發(fā)布：2024/12/29 12:30:1組卷：12引用：2難度：0.7 -
2．已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為
、F1（-22，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6．F2（22，0）
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程．發(fā)布：2024/12/29 11:30:2組卷：442引用：6難度：0.8 -
3．阿基米德（公元前287年-公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C的離心率為
，面積為8π，則橢圓C的方程為（ ?。?/h2>32發(fā)布：2024/12/29 12:0:2組卷：229引用：7難度：0.5