已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點，且點P的橫坐標為t.
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S．
①求S關(guān)于t的函數(shù)表達式；
②求P點到直線BC的距離的最大值，并求出此時點P的坐標．
（3）如圖2，設(shè)拋物線的對稱軸為l,l與x軸的交點為D，在直線l上是否存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【考點】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）；
（2）①；
②點P到直線BC的距離的最大值為，此時點P的坐標為；
（3）在直線l上存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，點M的坐標為M（1，6）．
y
2
=
-
2
x
（2）①
S
=
-
3
2
t
2
+
9
2
t
②點P到直線BC的距離的最大值為
9
2
8
（
3
2
，
15
4
）
（3）在直線l上存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，點M的坐標為M（1，6）．
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/7/15 8:0:9組卷：445引用：3難度：0.5
相似題
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1．如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．發(fā)布：2025/6/25 8:30:1組卷：6971引用：21難度：0.1 -
2．給定一個函數(shù)，如果這個函數(shù)的圖象上存在一個點，它的橫、縱坐標相等，那么這個點叫做該函數(shù)的不變點．
（1）一次函數(shù)y=3x-2的不變點的坐標為．
（2）二次函數(shù)y=x2-3x+1的兩個不變點分別為點P、Q（P在Q的左側(cè)），將點Q繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點R，求點R的坐標．
（3）已知二次函數(shù)y=ax2+bx-3的兩個不變點的坐標為A（-1，-1）、B（3，3）．
①求a、b的值．
②如圖，設(shè)拋物線y=ax2+bx-3與線段AB圍成的封閉圖形記作M．點C為一次函數(shù)y=-x+m的不變點，以線段AC為邊向下作正方形ACDE．當(dāng)D、E兩點中只有一個點在封閉圖形M的內(nèi)部（不包含邊界）時，求出m的取值范圍．13發(fā)布：2025/6/25 7:30:2組卷：348引用：2難度：0.1 -
3．如圖，已知拋物線經(jīng)過A（1，0），B（0，3）兩點，對稱軸是直線x=-1．
（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）動點Q從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段OA上運動，同時動點M從O點出發(fā)以每秒3個單位長度的速度在線段OB上運動，過點Q作x軸的垂線交線段AB于點N，交拋物線于點P，設(shè)運動的時間為t秒．
①當(dāng)t為何值時，四邊形OMPQ為矩形；
②△AON能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．發(fā)布：2025/6/25 6:0:1組卷：1079引用：59難度：0.5