已知拋物線y=a（x-3）2+254過點(diǎn)C（0，4），頂點(diǎn)為M，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，如圖所示以AB為直徑作圓，記作⊙D．
（1）求拋物線解析式及D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）猜測(cè)直線CM與⊙D的位置關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，若將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'恰好落在拋物線上？若能，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由．
y
=
a
（
x
-
3
）
2
+
25
4
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．
【答案】（1）y=-+x+4；D（3，0）；（2）直線CM與⊙D相切，理由見解析；（3）在拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，若將線段CP繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使C點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'恰好落在拋物線上，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（3，3）．
1
4
x
2
3
2
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：520引用：7難度：0.3
相似題
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1．如圖，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上的一點(diǎn)，連接PB，PC，求△PBC的面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將拋物線y=ax2+bx+3向右平移1個(gè)單位得到新拋物線，點(diǎn)M是新拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，N是新拋物線一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．發(fā)布：2025/5/31 4:30:2組卷：704引用：4難度：0.3 -
2．如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+4（a≠0）的圖象與x軸交于A（-2，0），B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B、C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,△PCB的面積為S．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式；
（3）當(dāng)∠PCB=∠ABC時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
發(fā)布：2025/5/31 5:30:3組卷：281引用：1難度：0.3 -
3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a（a≠0）頂點(diǎn)為P，且該拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．我們規(guī)定：拋物線與x軸圍成的封閉區(qū)域稱為“G區(qū)域”（不包含邊界）；橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)．
（1）求拋物線y=ax2-2ax-3a頂點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）如果拋物線y=ax2-2ax-3a經(jīng)過（1，3）．
①求a的值；
②在①的條件下，直接寫出“G區(qū)域”內(nèi)整點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
（3）如果拋物線y=ax2-2ax-3a在“G區(qū)域”內(nèi)有4個(gè)整點(diǎn)，直接寫出a的取值范圍．發(fā)布：2025/5/31 4:0:1組卷：1481引用：8難度：0.1