如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，AD為△ABC的中線．

（1）如圖1，求證：△ADC為等腰直角三角形；
（2）如圖2，若P為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D，C重合），以AP為直角邊作等腰直角△APE，其中∠APE=90°，點(diǎn)A，E在直線BC同側(cè)，連接CE，求證：∠ACE=90°；
（3）若P為線段DC延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為直角邊作等腰直角△APE，其中∠APE=90°，點(diǎn)A，E在直線BC同側(cè)，且點(diǎn)A關(guān)于直線BC對(duì)稱點(diǎn)記為A'，請(qǐng)?jiān)趫D3上補(bǔ)全圖形，求證：A'，C，E三點(diǎn)在同一條直線上．

【考點(diǎn)】幾何變換綜合題．

【答案】（1）見解析；
（2）見解析；
（3）見解析．

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/7/11 8:0:9組卷：230引用：1難度：0.3

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2．在綜合與實(shí)踐課上，劉老師展示了一個(gè)情境，讓同學(xué)們進(jìn)行探究：情境呈現(xiàn)：如圖1，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)P為AC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q，連接BP，點(diǎn)D為BP的中點(diǎn)，連接CD，DQ．

分別過點(diǎn)Q，C作QM⊥AB，CN⊥AB，垂足分別為M，N．
∵△ABC和△AQP都是等腰直角三角形，QM⊥AP，CN⊥AB，
∴
QM
=
AM
=
PM
=
1
2
AP
，
CN
=
BN
=
AN
=
1
2
AB
，∠QMP=∠CND=90°．
∵點(diǎn)D是BP的中點(diǎn)，
∴
BD
=
DP
=
1
2
BP
．
∴
DM
=
DP
+
PM
=
1
2
BP
+
1
2
AP
=
1
2
AB
．
∴DM=CN=AN．
∴AM=DN=QM．
∴△QMD≌△DNC．
∴DQ=DC．

特殊分析：（1）將△APQ繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)P落在AB上時(shí)，如圖2，探究CD與DQ的數(shù)量關(guān)系；小明同學(xué)的分析如上：填空：①小明判斷△QMD≌△DNC的依據(jù)是
（填序號(hào)）；
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．ASA
E．HL
②請(qǐng)判斷∠CDQ的度數(shù)為
；
一般研討：（2）若將△APQ繞點(diǎn)A在平面內(nèi)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3，CD與DQ的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說明理由；若不變化，請(qǐng)證明；
拓展延伸：（3）若
AP
=
4
3
，
BC
=
6
2
，在△AQP繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)∠BAP=60°時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段DQ的長(zhǎng)．

發(fā)布：2025/5/22 11:30:2組卷：672引用：4難度：0.2

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