如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC中點，連接AD，點E在線段AC上，連接BE，與AD交于點F，過點A作BE的垂線，分別交BE，BC于點G，H．
（1）求證：△BDF≌△ADH；
（2）若AE=AF，求證：BF=2AG；
（3）在（2）的條件下，若AE=2，求BC的長．
【考點】三角形綜合題．
【答案】（1）證明見解析部分；
（2）①證明見解析部分；
②4+2．
（2）①證明見解析部分；
②4+2
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2025/5/30 6:0:1組卷：598引用：1難度：0.2
相似題
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1．閱讀材料：若m2-2mn+2n2-4n+4=0，求m,n的值，
解：∵m2-2mn+2n2-4n+4=0，
∴（m2-2mn+n2）+（n2-4n+4）=0，
∴（m-n）2+（n-2）2=0，
∵（m-n）2≥0；（n-2）2≥0，
∴（m-n）2=0，（n-2）2=0，
∴n=2，m=2．
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
（1）a2+b2+6a-2b+10=0，則a=，b=；
（2）已知x2+2y2-2xy+8y+16=0，求xy的值；
（3）已知△ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，且滿足2a2+b2-8a-8b+24=0，求符合條件的△ABC的邊長；當△ABC為等腰三角形時，求三角形的面積．發(fā)布：2025/6/3 21:30:1組卷：225引用：2難度：0.2 -
2．綜合實踐
在學習全等三角形的知識時，數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．興趣小組成員經(jīng)過研討給出定義：如果兩個等腰三角形的頂角相等，且頂角的頂點互相重合，則稱此圖形為“手拉手全等模型”．因為頂點相連的四條邊，可以形象地看作兩雙手，所以通常稱為“手拉手模型”，如圖1，△ABC與△ADE都是等腰三角形，其中∠BAC=∠DAE，則△ABD≌△ACE（SAS）．
[初步把握]如圖2，△ABC與△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，則有 ≌．
[深入研究]如圖3，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作等邊△ABD和等邊△ACE，并連接BE，CD，求證：BE=CD．
[拓展延伸]如圖4，在兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，交于點P，請判斷BD和CE的關(guān)系，并說明理由．發(fā)布：2025/6/3 21:30:1組卷：2306引用：11難度：0.3 -
3．閱讀以下材料，完成以下兩個問題．
[閱讀材料]已知：如圖，△ABC（AB≠AC）中，D、E在BC上，且DE=EC，過D作DF∥BA交AE于點F，DF=AC．求證：AE平分∠BAC．
結(jié)合此題，DE=EC，點E是DC的中點，考慮倍長，并且要考慮連接哪兩點，目的是證明全等，從而轉(zhuǎn)移邊和角．有兩種考慮方法：①考慮倍長FE，如圖（1）所示；②考慮倍長AE，如圖（2）所示
以圖（1）為例，證明過程如下：
證明：延長FE至G，使EG=EF，連接CG．
在△DEF和△CEG中，，ED=EC∠DEF=∠CEGEF=EG
∴△DEF≌△CEG（SAS）．
∴DF=CG，∠DFE=∠G．
∵DF=AC，
∴CG=AC．
∴∠G=∠CAE．
∴∠DFE=∠CAE．
∵DF∥AB，
∴∠DFE=∠BAE．
∴∠BAE=∠CAE．
∴AE平分∠BAC．
問題1：參考上述方法，請完成圖（2）的證明．
問題2：根據(jù)上述材料，完成下列問題：
已知，如圖3，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角三角形，∠BAE=∠CAF=90°，AE=AB，AC=AF，AD=3，求EF的長．發(fā)布：2025/6/3 20:30:2組卷：2541引用：4難度：0.3
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