小邕做數(shù)學(xué)題時(shí)遇到了如下問題：如圖1，△ABD是⊙O的內(nèi)接三角形，直線l經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)E是直線l上的一點(diǎn)，且∠ABD=∠DAE．求證：直線l是⊙O的切線．小邕添加了適當(dāng)?shù)妮o助線后，得到了圖2的圖形，并利用它解決了問題．
（1）請(qǐng)你根據(jù)小邕的思考，寫出解決這一問題的過程；
（2）在圖2中，作直徑BC，連接CD，得到圖3．若∠DAE=30°，AD=27，AB=8，求CD的長(zhǎng)．
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【答案】（1）見解析；
（2）2．
（2）2．
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/6/27 10:35:59組卷：304引用：2難度：0.4
相似題
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1．觀察思考：
某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊Q在平直滑道l上可以左右滑動(dòng)，在Q滑動(dòng)的過程中，連桿PQ也隨之運(yùn)動(dòng)，并且PQ帶動(dòng)連桿OP繞固定點(diǎn)O擺動(dòng)．在擺動(dòng)過程中，兩連桿的接點(diǎn)P在以O(shè)P為半徑的⊙O上運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過點(diǎn)O作OH⊥l于點(diǎn)H，并測(cè)得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．
解決問題：
（1）點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最小距離是 分米；點(diǎn)Q與點(diǎn)O間的最大距離是 分米；點(diǎn)Q在l上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是 分米；
（2）如圖3，小明同學(xué)說：“當(dāng)點(diǎn)Q滑動(dòng)到點(diǎn)H的位置時(shí)，PQ與⊙O是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？
為什么？
（3）①小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OH上時(shí)，點(diǎn)P到l的距離最?。笔聦?shí)上，還存在著點(diǎn)P到l距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)P到l的距離是 分米；
②當(dāng)OP繞點(diǎn)O左右擺動(dòng)時(shí)，所掃過的區(qū)域?yàn)樯刃?，求這個(gè)扇形面積最大時(shí)圓心角的度數(shù)．發(fā)布：2025/6/13 23:30:1組卷：915引用：31難度：0.1 -
2．如圖1，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接OP，CP．
（1）當(dāng)OP OC時(shí)，△OPC的最大面積為 ；
（2）如圖2，延長(zhǎng)PO交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，且BD=CP．求證：CP是⊙O的切線．
發(fā)布：2025/6/14 20:0:1組卷：383引用：4難度：0.6 -
3．如圖，在矩形ABCD中，AB=8cm,AD=6cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以2cm/s的速度向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC以1cm/s的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）幾秒后，點(diǎn)P、D的距離是點(diǎn)P、Q的距離的2倍；
（2）幾秒后，△DPQ是直角三角形；
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過秒，以P為圓心，AP為半徑的⊙P與對(duì)角線BD相切．發(fā)布：2025/6/14 17:30:2組卷：884引用：2難度：0.4