當(dāng)前位置： 2022-2023學(xué)年浙江省湖州市南潯區(qū)七年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷> 試題詳情

我校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組成員們自主開展數(shù)學(xué)微項(xiàng)目研究．結(jié)合本階段學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，他們決定研究數(shù)的一些“神秘”性質(zhì)．

探索數(shù)的神秘性質(zhì)

素材尼科馬霍斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他的著作《算術(shù)入門》中記載了各種數(shù)分門別類的整理成果，其中任何一個(gè)整數(shù)m的立方都可以寫成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和．舉例論證：
1³=1；2³=3+5；3³=7+9+11；
請(qǐng)你按規(guī)律寫出：
4³=
13+15+17+19
13+15+17+19
．

規(guī)律總結(jié) 當(dāng)m是奇數(shù)7時(shí)，則等號(hào)右邊式子中的中間數(shù)（即第4個(gè)數(shù)）為
49
49
；當(dāng)m為偶數(shù)10時(shí)，則等號(hào)右邊式子中的中間兩個(gè)數(shù)（即第5和第6個(gè)數(shù)）為
99，101
99，101
．

綜合應(yīng)用利用上面結(jié)論計(jì)算：1³+2³+3³+…+9³+10³+11³．

拓展延伸我們還發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：已知m≥2，n≥3，且m,n均為正整數(shù)，如果將mⁿ進(jìn)行如圖所示的“分解”：
若mⁿ（且m,n均為不大于7的正整數(shù)）的分解中有奇數(shù)31，則mⁿ的值為
64或216
64或216
．

【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運(yùn)算；數(shù)學(xué)常識(shí)．

【答案】13+15+17+19；49；99，101；64或216

【解答】

【點(diǎn)評(píng)】

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發(fā)布：2024/9/7 9:0:8組卷：405引用：4難度：0.4

相似題

1．觀察以下等式：
第1個(gè)等式
1
4
-
1
=
1
4
（
1
+
1
1
×
3
）
；
第2個(gè)等式
4
16
-
1
=
1
4
（
1
+
1
3
×
5
）
；
第3個(gè)等式
9
36
-
1
=
1
4
（
1
+
1
5
×
7
）
；
第4個(gè)等式
16
64
-
1
=
1
4
（
1
+
1
7
×
9
）
；
……
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）寫出第5個(gè)等式：
．
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式
（用含n的等式表示），并證明．
發(fā)布：2025/5/24 11:0:1組卷：151引用：3難度：0.6
解析
2．觀察一下等式：
第一個(gè)等式：
1
2
=
1
-
1
2
，
第二個(gè)等式：
1
2
+
1
2
2
=
1
-
1
2
2
，
第三個(gè)等式：
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
=
1
-
1
2
3
，
…
按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：
（1）
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+
1
2
4
=
1
-

；
（2）寫出第五個(gè)式子：
；
（3）用含n（n為正整數(shù)）的式子表示一般規(guī)律：
1
2
+
1
2
2
+
1
2
3
+
???
+
1
2
n
=
1
-

；
（4）計(jì)算（要求寫出過(guò)程）：
3
2
+
3
2
2
+
3
2
3
+
3
2
4
+
3
2
5
+
3
2
6
．
發(fā)布：2025/5/24 9:0:1組卷：227引用：3難度：0.7
解析
3．觀察下列式子：①2×4+1=9，②4×6+1=25，③6×8+1=49，
（1）請(qǐng)寫出第5個(gè)等式：
；
（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請(qǐng)寫出第n個(gè)等式：2n（2n+2）+1=
．
（3）試用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明你所寫出的等式的正確性；
發(fā)布：2025/5/24 7:0:1組卷：91引用：3難度：0.7
解析

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素材	尼科馬霍斯是古希臘數(shù)學(xué)家，他的著作《算術(shù)入門》中記載了各種數(shù)分門別類的整理成果，其中任何一個(gè)整數(shù)m的立方都可以寫成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和．	舉例論證： 1³=1；2³=3+5；3³=7+9+11；請(qǐng)你按規(guī)律寫出： 4³= 13+15+17+19 13+15+17+19 ．
規(guī)律總結(jié)	當(dāng)m是奇數(shù)7時(shí)，則等號(hào)右邊式子中的中間數(shù)（即第4個(gè)數(shù)）為 49 49 ；	當(dāng)m為偶數(shù)10時(shí)，則等號(hào)右邊式子中的中間兩個(gè)數(shù)（即第5和第6個(gè)數(shù)）為 99，101 99，101 ．
綜合應(yīng)用	利用上面結(jié)論計(jì)算：1³+2³+3³+…+9³+10³+11³．
拓展延伸	我們還發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：已知m≥2，n≥3，且m,n均為正整數(shù)，如果將mⁿ進(jìn)行如圖所示的“分解”：若mⁿ（且m,n均為不大于7的正整數(shù)）的分解中有奇數(shù)31，則mⁿ的值為 64或216 64或216 ．