【問題背景】
小張?jiān)陬A(yù)習(xí)課本時(shí)發(fā)現(xiàn)了如下表述：
“關(guān)于線段的垂直平分線，有如下的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等．”小張百思不得其解，對(duì)于垂直平分線的性質(zhì)產(chǎn)生了濃厚的興趣．
【定理證明】
（1）你能幫助小張證明垂直平分線的性質(zhì)定理嗎？
| 已知：如圖，直線l⊥AB于點(diǎn)O．且OA=OB，C是直線l上的任意一點(diǎn)． 求證：CA=CB |
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|
證明：①當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O重合時(shí)， ∵OA=OB ∴CA=CB ②當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)O不重合時(shí)， ∵直線l⊥AB ∴∠COA=∠COB=90° 在△COA與△COB中， OA=OB OA=OB ∠AOC=∠BOC ∠AOC=∠BOC CO=CO CO=CO ∴△COA≌△COB（ SAS SAS ）∴CA=CB |
（2）小張?jiān)谡n后折紙活動(dòng)中驚喜地發(fā)現(xiàn)：
如圖1、圖2，將正方形紙片ABCD沿GH折疊．G，H分別在線段BC，AD上，恰好使B點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)E處，連結(jié)BE，交GH于點(diǎn)O，由折疊的性質(zhì)，直線GH恰為線段BE的垂直平分線．
①如圖1，若正方形紙片的邊長(zhǎng)為9cm,AH的長(zhǎng)度為2cm,則CG的長(zhǎng)度為
4
4
cm.②如圖2，連結(jié)對(duì)角線AC，與GH交于點(diǎn)F，連結(jié)EF，求證：BE=
2
?【深入探究】
（3）如圖3，在菱形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)BE，AC，作線段BE的垂直平分線分別交AC，BC，BE于點(diǎn)F，G，O，求證：∠BCD=2∠BEF．
【考點(diǎn)】四邊形綜合題．
【答案】OA=OB；∠AOC=∠BOC；CO=CO；SAS；4
【解答】
【點(diǎn)評(píng)】
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發(fā)布：2024/7/14 8:0:9組卷：569引用：1難度：0.3
相似題
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1．如圖，在菱形ABCD中，AB=10，sinB=
，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿折線B-C-D向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)E作點(diǎn)E所在的邊（BC或CD）的垂線，交菱形其它的邊于點(diǎn)F，在EF的右側(cè)作矩形EFGH．35
（1）如圖1，點(diǎn)G在AC上．求證：FA=FG．
（2）若EF=FG，當(dāng)EF過AC中點(diǎn)時(shí)，求AG的長(zhǎng)．
（3）已知FG=8，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為s.當(dāng)s滿足什么條件時(shí)，以G，C，H為頂點(diǎn)的三角形與△BEF相似（包括全等）？
發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：1989引用：3難度：0.1 -
2．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2．過點(diǎn)A作對(duì)角線BD的平行線與邊CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．P為邊BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)B，D重合），連接PA，PE，AC．
（1）求證：四邊形ABDE是平行四邊形；
（2）求四邊形ABDE的周長(zhǎng)和面積；
（3）記△ABP的周長(zhǎng)和面積分別為C1和S1，△PDE的周長(zhǎng)和面積分別為C2和S2，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，試探究下列兩個(gè)式子的值或范圍：①C1+C2，②S1+S2，如果是定值的，請(qǐng)直接寫出這個(gè)定值；如果不是定值的，請(qǐng)直接寫出它的取值范圍．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：574引用：1難度：0.2 -
3．如圖，菱形ABCD中，AB=5，連接BD，sin∠ABD=
，點(diǎn)P是射線BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），AP與對(duì)角線BD交于點(diǎn)E，連接EC．55
（1）求證：AE=CE；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，設(shè)BP=n（0＜n＜5），求△PEC的面積；（用含n的代數(shù)式表示）
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若△PEC是直角三角形，請(qǐng)直接寫出BP的長(zhǎng)．發(fā)布：2025/1/28 8:0:2組卷：254引用：1難度：0.1