【問題】北師大版數學八年級下冊P32第2題： 已知：如圖1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F． 求證：點F在∠DAE的平分線上． 【解答】某數學興趣小組的小明同學提出了如下的解題方法： 如圖2，過點F作FG⊥AD于點G，作FH⊥AE于點H，作FM⊥BC于點M，由角平分線 的性質定理可得：FG=FM，F(xiàn)H=FM． ∴FG=FH． ∴FG⊥AD，F(xiàn)H⊥AE， ∴F在∠DAE的平分線上．

【探究】（1）小方在研究小明的解題過程時，還發(fā)現(xiàn)圖2中BG、BC和CH三條線段存在一定的數量關系，請你直接寫出它們的數量關系：

BG+CH=BC

BG+CH=BC

；
（2）小明也發(fā)現(xiàn)∠BFC和∠GFH之間存在一定的數量關系．請你直接寫出它們的數量關系：

∠BFC=

1

2

∠GFH

∠BFC=

1

2

∠GFH

；
【應用】如圖3，邊長為3的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊CD、BC上的點，且DE=1．連接AE，AF，EF，若∠EAF=45°，求BF的長；
【拓展】如圖4，△ABC中，AB=AC=5，BC=4，△DEF中，∠EDF=∠B．將△DEF的頂點D放在BC邊的中點處，邊DF交線段AB于點G，邊DE交線段AC于點H，連接GH．現(xiàn)將△DEF繞著點D旋轉，在旋轉過程中，△AGH的周長是否發(fā)生變化？若不變，求出△AGH的周長，若改變，請說明理由．