在相似的復習課中，同學們遇到了一道題：已知∠C=90°，請設計三種不同方法，將Rt△ABC分割成四個小三角形，使每個小三角形與原三角形相似．
（1）甲同學設計了如圖1分割方法：D是斜邊AB的中點，過D分別作DE⊥AC，DF⊥BC，請判斷甲同學的做法是否正確，并說明理由．
（2）乙同學設計了如圖2分割方法，過點D作FD⊥AB，DE⊥BC，連結EF，易證△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置時，才能證明另兩個三角形與原三角形相似，李老師通過幾何畫板，發(fā)現(xiàn)∠A=30°時，ADDB=34，∠A=45°時，ADDB=12，∠A=60°時，ADDB=14．猜測對于任意∠A，當ADDB=AC2AB2AC2AB2（用AC，BC或AB相關代數(shù)式表示），結論成立．請補充條件并證明．
（3）在普通三角形中，顯然連結三角形中位線分割成四個小三角形與原三角形相似．你能參考乙同學的分割方法找到其他分割方法嗎？請做出示意圖并作適當分割說明（不要求證明過程）．
AD
DB
=
3
4
AD
DB
=
1
2
AD
DB
=
1
4
AD
DB
A
C
2
A
B
2
A
C
2
A
B
2
【考點】相似形綜合題．
【答案】
A
C
2
A
B
2
【解答】
【點評】
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發(fā)布：2024/4/20 14:35:0組卷：109引用：1難度：0.1
相似題
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1．在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，點E在邊CD上，且DE=1．
感知：如圖①，連接AE，過點E作EF⊥AE，交BC于點F，連接AF，易證：△ADE≌△ECF（不需要證明）；
探究：如圖②，點P在矩形ABCD的邊AD上（點P不與點A、D重合），連接PE，過點E作EF⊥PE，交BC于點F，連接PF．求證：△PDE∽△ECF；
應用：如圖③，若EF交AB邊于點F，其他條件不變，且△PEF的面積是3，則AP的長為．發(fā)布：2025/6/16 19:30:1組卷：681引用：3難度：0.1 -
2．數(shù)學課上，王老師出示問題：如圖1，將邊長為5的正方形紙片ABCD折疊，使頂點A落在邊CD上的點P處（點P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點G．
（1）觀察操作結果，在圖1中找到一個與△DEP相似的三角形，并證明你的結論；
（2）當點P在邊CD的什么位置時，△DEP與△CPG面積的比是9：25？請寫出求解過程；
（3）將正方形換成正三角形，如圖2，將邊長為5的正三角形紙片ABC折疊，使頂點A落在邊BC上的點P處（點P與B、C不重合），折痕為EF，當點P在邊BC的什么位置時，△BEP與△CPF面積的比是9：25？請寫出求解過程．
發(fā)布：2025/6/15 22:0:1組卷：1072引用：9難度：0.2 -
3．如圖，AD、BE是△ABC的兩條高，過點D作DF⊥AB，垂足為F，F(xiàn)D交BE于M，F(xiàn)D、AC的延長線交于點N．
（1）求證：△BFM∽△NFA；
（2）試探究線段FM、DF、FN之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；
（3）若AC=BC，DN=12，ME：EN=1：2，求線段AC的長．發(fā)布：2025/6/16 11:30:2組卷：851引用：7難度：0.3