已知過拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F，斜率為2的直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）兩點(diǎn)，且|AB|=6．
（1）求該拋物線C的方程；
（2）已知拋物線上一點(diǎn)M（t,4），過點(diǎn)M作拋物線的兩條弦MD和ME，且MD⊥ME，判斷直線DE是否過定點(diǎn)？并說明理由．
2
【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合．
【答案】（1）y2=4x．
（2）直線DE過定點(diǎn)，證明如下：
由（1）可得點(diǎn)M（4，4），可得直線DE的斜率不為0，
設(shè)直線DE的方程為：x=my+t，
聯(lián)立
，得y2-4my-4t=0，
則Δ=16m2+16t＞0①．
設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4t．
∵M(jìn)D?ME=（x1-4，y1-4）?（x2-4，y2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16
=
==t2-16m2-12t+32-16m=0
即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，
代入①式檢驗(yàn)均滿足Δ＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．
∴直線過定點(diǎn)（8，-4）（定點(diǎn)（4，4）不滿足題意，故舍去）．
（2）直線DE過定點(diǎn)，證明如下：
由（1）可得點(diǎn)M（4，4），可得直線DE的斜率不為0，
設(shè)直線DE的方程為：x=my+t，
聯(lián)立
x = my + t |
y 2 = 4 x |
則Δ=16m2+16t＞0①．
設(shè)D（x1，y1），E（x2，y2），則y1+y2=4m，y1y2=-4t．
∵M(jìn)D?ME=（x1-4，y1-4）?（x2-4，y2-4）=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-4（y1+y2）+16
=
y
1
2
4
?
y
2
2
4
-
4
（
y
1
2
4
+
y
2
2
4
）
+
16
+
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
16
=
（
y
1
y
2
）
2
16
-
（
y
1
+
y
2
）
2
+
3
y
1
y
2
-
4
（
y
1
+
y
2
）
+
32
即t2-12t+32=16m2+16m，得：（t-6）2=4（2m+1）2，
∴t-6=±2（2m+1），即t=4m+8或t=-4m+4，
代入①式檢驗(yàn)均滿足Δ＞0，
∴直線DE的方程為：x=my+4m+8=m（y+4）+8或x=m（y-4）+4．
∴直線過定點(diǎn)（8，-4）（定點(diǎn)（4，4）不滿足題意，故舍去）．
【解答】
【點(diǎn)評】
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發(fā)布：2024/7/13 8:0:9組卷：65引用：3難度：0.5
相似題
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1．拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,A，B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AF⊥BF，P為線段AB的中點(diǎn)，設(shè)P在l上的射影為Q，則
的最大值是（ ?。?/h2>|PQ||AB|發(fā)布：2024/12/29 5:30:3組卷：455引用：7難度：0.5 -
2．如圖，設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為F，過x軸上一定點(diǎn)D（2，0）作斜率為2的直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，記△BCF的面積為S1，△ACF的面積為S2，若，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ?。?/h2>S1S2=14發(fā)布：2024/12/17 0:0:2組卷：163引用：6難度：0.6 -
3．如圖，已知點(diǎn)P是拋物線C：y2=4x上位于第一象限的點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)M，N是y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M位于x軸上方），滿足PM⊥PN，AM⊥AN，線段PN分別交x軸正半軸、拋物線C于點(diǎn)D，Q，射線MP交x軸正半軸于點(diǎn)E．
（Ⅰ）若四邊形ANPM為矩形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）記△DOP，△DEQ的面積分別為S1，S2，求S1?S2的最大值．發(fā)布：2024/12/29 1:0:8組卷：91引用：2難度：0.4